Granica dwóch funkcji trygonometrycznych

[Bartek1991]

Mam pytanie, czy prawdą jest, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{ \sin x }{x} = 1}\) oraz jak policzyć granicę \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{ tg x}{x}}\)

[Lorek]

Mam pytanie, czy prawdą jest, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{ \sin x }{x} = 1}\)

Nie.

oraz jak policzyć granicę \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{ tg x}{x}}\)

Nijak, nie istnieje.

[Bartek1991]

No tak, ale rozpatrzmy wielokąt foremny wpisany w koło. Jego pole powierzchni opisane jest wzorem \(\displaystyle{ P = n \cdot \frac{1}{2} R^2 \sin \frac{2 \pi}{n}}\)Jeśli policzymy granicę przy n dążącym do nieskńczoności to powinnismy otrzymać wzór na pole powierzchni. Ja dochodzę do czegoś takiego:

\(\displaystyle{ P _{kola} = \lim_{n \to \infty } n \cdot \frac{1}{2} R^2 \sin \frac{2 \pi}{n} = ... = \pi R^2 \lim_{n \to \infty } \frac{sin \frac{2 \pi}{n}}{ \frac{2 \pi}{n} }}\)

I co teraz zrobić?

[Nakahed90]

Zauważ, że \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty \Rightarrow \frac{2\pi}{n} \rightarrow 0}\), a prawdziwa jest równość \(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0} \frac{sinx}{x}=1}\)

[Bartek1991]

Nie za bardzo rozumiem...

[Nakahed90]

Ale czego nie rozumiesz?

[Bartek1991]

Jak ma się Twój post do mojego pytania...Może powiedz to jakoś słowami to zrozumiem

[Charles90]

Najprościej rozłóż sobie na iloczyn:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{ \sin x }{x} = \lim_{x \to \infty } \left( \frac{1}{x} \cdot sin \ x \right)=0}\)

Pamiętając, że \(\displaystyle{ -1\le sin \ x \le 1}\)

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{sin \frac{2 \pi}{n}}{ \frac{2 \pi}{n} }=[t=\frac{2\pi}{n}]= \lim_{ t \to 0}\frac{sint}{t}}\)

-- 16 listopada 2009, 20:59 --

Najprościej rozłóż sobie na iloczyn:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{ \sin x }{x} = \lim_{x \to \infty } \left( \frac{1}{x} \cdot sin \ x \right)=0}\)

Pamiętając, że \(\displaystyle{ -1\le sin \ x \le 1}\)

Zauważ, że nie badamy granicy w nieskończoność tylko w zerze.

[Bartek1991]

Teraz już wszystko jasne. Dzięki wielkie.-- 16 lis 2009, o 21:06 --A co zrobić z tą granicą z tangensem?

[Charles90]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{sin \frac{2 \pi}{n}}{ \frac{2 \pi}{n} }=[t=\frac{2\pi}{n}]= \lim_{ t \to 0}\frac{sint}{t}}\)

-- 16 listopada 2009, 20:59 --

Najprościej rozłóż sobie na iloczyn:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{ \sin x }{x} = \lim_{x \to \infty } \left( \frac{1}{x} \cdot sin \ x \right)=0}\)

Pamiętając, że \(\displaystyle{ -1\le sin \ x \le 1}\)

Zauważ, że nie badamy granicy w nieskończoność tylko w zerze.

Mam pytanie, czy prawdą jest, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{ \sin x }{x} = 1}\) oraz jak policzyć granicę \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{ tg x}{x}}\)

[janusz47]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{tgx}{x} = \lim_{ x\to 0 } \frac{1}{cosx} \cdot \lim_{ x\to 0} \frac{sinx}{x} =1 \cdot 1 =1}\)

[Bartek1991]

Nie wiem Panowie co wy popisaliście, ale chodzi mi o to, że jeśli na kole opiszemy wielokat foremny to jego pole powierzchni wyrazić można wzorem \(\displaystyle{ P = nR^2 tg \frac{ \pi}{n}}\), jeśli przejdziemy do granicy to powinniśmy uzyskać pole powierzchni koła. Dostaję coś takiego:

\(\displaystyle{ P_{kola} = \lim_{ n \to \infty } nR^2 tg \frac{ \pi}{n} = \pi R^2 \lim_{ n \to \infty } \frac{tg \frac{\pi}{n} }{ \frac{\pi}{n} }}\)