Całka funkcji wymiernych

[bybek5]

Witam,
właśnie analizuje przykład takiej całki:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{3 x^{3} - 5x ^{2} + 8x }{(x ^{2} - 2x + 1)(x ^{2} - 1 ) } dx}\)

tożsamość wynosi:

\(\displaystyle{ 3 x^{3} - 5x ^{2} + 8x \equiv A(x+1) + B(x+1)(x-1) + C(x+1)(x-1) ^{2} + D(x-1) ^{3}}\)

I jak teraz obliczyć współczynniki A, B, C, D?

[BettyBoo]

Albo korzystasz z równości wielomianów, albo z równości funkcji.

Z równości wielomianów - trzeba wymnożyć i uporządkować wielomian po prawej stronie, a potem przyrównać współczynniki. Powstaje układ 4 rownań z 4 niewiadomymi.

Z równości funkcji - ponieważ masz znaleźć 4 niewiadome, to wystarczy skorzystać z tego, ze obie te funkcje są równe (m.in.) w 4 (dowolnie wybranych) punktach.
Widać, że jednym dobrym wyborem jest x=1, a drugim x=-1 (zera mianownika - w efekcie równanie się bardzo upraszcza).
Pozostałe dwa x-sy wybierasz dowolnie - no np x=0 i x=2. Powstaje również układ 4 równań z 4 niewiadomymi.

Pozdrawiam.

[rogal91]

\(\displaystyle{ \frac{x^{3} \left(C+D \right) +x^{2} \left(B-C-3D \right) +x \left(A-C+3D \right) +A-B+C-D}{ \left( x-1\right)^{2} \left(x^{2}-1 \right)} = \frac{3x^{3}-5x^{2}+8x}{ \left( x-1\right)^{2} \left(x^{2}-1 \right)}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} C+D=3 \\ B-C-3D=-5 \\ A-C+3D=8 \\ A-B+C-D=0 \end{cases}}\)

wychodzą -
\(\displaystyle{ A=3; B=2; C=1; D=2}\)

czyli całka będzie równa

\(\displaystyle{ \int \frac{3}{x-1^{3}} + \frac{2}{x-1^{2}} + \frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+1} dx =}\)
\(\displaystyle{ 3 \int \frac{dx}{x-1^{3}} + 2 \int \frac{dx}{x-1^{2}} + \int \frac{dx}{x-1} + 2 \int \frac{dx}{x+1}}\)

tutaj chyba sobie już poradzisz

[bybek5]

tylko za bardzo nie wiem jak wyliczyć te współczynniki. Znalazłem rozwiązanie tej całki.
Zostało to zrobione mniej więcej tak:
1. Podstawiono pierwiastki mianownika, aby obliczyć\(\displaystyle{ A i D}\),
2. Następnie stworzyli równanie \(\displaystyle{ 3 = C + D}\) oraz \(\displaystyle{ 0 = A - B + C - D}\)
Dalej już czaje.

Nie rozumiem do końca dlaczego przez pierwiastki mianownika można obliczyć współczynnik \(\displaystyle{ A i D}\), oraz jak zostało utworzone równianie \(\displaystyle{ 0 = A - B + C - D}\)

[rogal91]

Przy tych wyrażeniach które mają tego samego stopnia x przy sobie przyrównujesz pozostałe współczynniki.

\(\displaystyle{ \frac{x^{3} \left(C+D \right) +x^{2} \left(B-C-3D \right) +x \left(A-C+3D \right) +x^{0}(A-B+C-D)}{ \left( x-1\right)^{2} \left(x^{2}-1 \right)} = \frac{3x^{3}-5x^{2}+8x+0x^{0}}{ \left( x-1\right)^{2} \left(x^{2}-1 \right)}}\)

może w takiej postaci wyjaśni to trochę tobie
po prostu przyrównujesz to "co stoi" przy \(\displaystyle{ x^{3}, x^{2}}\) itd. z tym co jest na drugiej stronie równania

[BettyBoo]

Równanie

\(\displaystyle{ 3 x^{3} - 5x ^{2} + 8x =A(x+1) + B(x+1)(x-1) + C(x+1)(x-1) ^{2} + D(x-1) ^{3}}\)

traktujemy jak równość funkcji - po lewej jedna, po prawej druga. Funkcje są równe kiedy mają takie same dziedziny oraz takie same wartości dla każdego punktu dziedziny. My musimy z tego równania wyznaczyć wartości 4 niewiadomych, więc wybieramy dowolne 4 wartości x (bo tylko tyle potrzebujemy). Żeby się za bardzo nie naliczyć wybieramy takie wartości x, dla których sie będzie łatwo liczyło. Ze względu na postać tej funkcji po prawej stronie dokonujemy takich dwóch (oczywistych wyborów):

x=1: wtedy mamy równanie w postaci \(\displaystyle{ 3-5+8=2A}\)
x=-1: wtedy równanie ma postać \(\displaystyle{ -3-5-8=-8D}\)

Ponieważ innych genialnych pomysłów nie ma, to bierzemy dwie dowolne wartości x, byle się jak najmniej naliczyć:

x=0: wtedy mamy \(\displaystyle{ 0=A-B+C-D}\)
x=2: wtedy mamy \(\displaystyle{ 24-20+16=3A+3B+3C+D}\)

Otrzymujesz układ 4 równań z 4 niewiadomymi - rozwiązanie wychodzi j.w.

Pozdrawiam.

[Mariusz M]

BettyBoo możemy jeszcze zróżniczkować stronami to równanie
wtedy można będzie coś ciekawego wstawić

[BettyBoo]

Pewnie, że można - ale ja bym się w to nie bawiła. IMHO z obliczeniem pochodnej z prawej strony będzie więcej problemów niż pożytku

Pozdrawiam.

[rogal91]

Znów skromnie się spytam - czy moje pojmowanie tego problemu jest również sensowne i poprawne?

[Mariusz M]

Znów skromnie się spytam - czy moje pojmowanie tego problemu jest również sensowne i poprawne?

Jest poprawne jest to zastosowanie równości wielomianów jak już o tym wspomniała Betty