całeczka z pierwiastkiem

[ewelisa]

jak w temacie
\(\displaystyle{ \int \frac{a}{(1-x^{2})\sqrt{1-x^{2}}}, \ a\in R}\)
proszę o pomoc

[Czoug]

Calka typu:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(ax^2+b) \sqrt{px^2+q}}}\)
rozwiazujemy podstawiajac:
\(\displaystyle{ ux= \sqrt{px^2+q}}\)

[rogal91]

Przepraszam że piszę gdy "zagadka" została już wyjaśniona, aczkowiek przyszedł mi do głowy nieco inny sposób na rozwiązanie - nie wiem tylko czy ta metoda jest do końca prawidłowa, gdyby ktoś mógł stwierdzić byłbym wdzięczny

podstawienie:
\(\displaystyle{ x=cos(u) \Leftrightarrow u=arccos(x)}\)
\(\displaystyle{ \frac{dx}{du}= -sin(u)}\)
\(\displaystyle{ dx= -sin(u)du}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{a}{ \left (1- x^{2} \right)\sqrt{1- x^{2}} }dx=
a\int \frac{-sin(u)du}{ \left (1- cos^{2}(u) \right)\sqrt{1- cos^{2}(u)} }=
a\int \frac{-sin(u)du}{ sin^{2}(u) \cdot sin(u)} =
-a\int \frac{du}{ sin^{2}(u)} =
a \cdot ctg(u)+C=\\=
a \cdot \frac{cos(u)}{sin(u)} +C=
a \cdot \frac{cos(u)}{ \sqrt{1- cos(u)^{2} } } +C=
\frac{ax}{ \sqrt{1-x^{2}} } +C}\)

pochodna się zgadza, tylko czy sama metoda jest prawidłowa?

[Mariusz M]

jak w temacie
\(\displaystyle{ \int \frac{a}{(1-x^{2})\sqrt{1-x^{2}}}, \ a\in R}\)
proszę o pomoc

Rogal można też podstawić


\(\displaystyle{ \int \frac{a}{(1-x^{2})\sqrt{1-x^{2}}}, \ a\in R}\)

\(\displaystyle{ x=\tanh{t}}\)

\(\displaystyle{ \mbox{d}x =\left(1-\tanh^{2}{t}\right) \mbox{d}t}\)

\(\displaystyle{ \int{ \frac{a}{ \left( 1-\tanh^{2}{t}\right) \sqrt{1-\tanh^{2}{t}} } \cdot \left(1-\tanh^{2}{t} \right) \mbox{d}t}}\)


\(\displaystyle{ \int{ \frac{1}{ \sqrt{ \frac{\cosh^2{t}-\sinh^{2}{t}}{\cosh^{2}{t}} } } \mbox{d}t}}\)

\(\displaystyle{ \int{ \cosh{t} \mbox{d}t}}\)

\(\displaystyle{ =\sinh{t}=\tanh{t} \cdot \cosh{t}= \frac{x}{ \sqrt{1-x^2} }+C}\)

[rogal91]

Rozumiem więc, że moja metoda jest prawidłowa?