Jak rozwiązać zadania z kresami typu:
Wyznacz kresy zbiorów:
1. \(\displaystyle{ E= {\frac{2n}{n+3k}: k,n \in N}}\)
lub łatwiejsze
2. \(\displaystyle{ E={ \frac{n}{n+1}: n \in N }}\)
Chodzi mi o formalny dowód z definicji, który zaliczyli by mi na kolokwium z analizy matematycznej i który bym zrozumiał.
Tyle by podać wyniki to mogę sam zrobić. 1. inf E=0, sup E=2; 2. inf E=1/2, sup E=1
kresy zbiorów
-
Lukasz_C747
- Użytkownik
- Posty: 379
- Rejestracja: 5 maja 2007, o 22:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wieluń
- Pomógł: 99 razy
kresy zbiorów
Z wiki:
\(\displaystyle{ s = \sup(A) \Leftrightarrow \forall_{a \in A}\; a \leqslant s \wedge \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{a \in A}\; a > s - \varepsilon}\)
Zatem przykładowo:
\(\displaystyle{ sup(E) = 2\\
\frac{2n}{n+3k} \le 2 \\
2n \le 2n+6k \\
0 \le 6k \\}\)
Co jest prawdą. Dalej:
\(\displaystyle{ \frac{2n}{n+3k} > 2 - \varepsilon \\
\varepsilon > 2 - \frac{2n}{n+3k} = \frac{2n+6k}{n+3k} - \frac{2n}{n+3k} = \frac{6k}{n+3k}}\)
Widzimy, że biorąc "małe" k i odpowiednio manipulując n, możemy uzyskać wartość spełniającą nierówność niezależnie od wartości epsilona (w pełni formalnie trzeba by wyznaczyć te stałe w zależności od epsilona, np.: przyjąć k=1 i wyznaczyć n w zależności od epsilona, ale myślę, że takie stwierdzenie wystarczy).
Zatem prawdą jest również drugi warunek, co kończy dowód.
\(\displaystyle{ s = \sup(A) \Leftrightarrow \forall_{a \in A}\; a \leqslant s \wedge \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{a \in A}\; a > s - \varepsilon}\)
Zatem przykładowo:
\(\displaystyle{ sup(E) = 2\\
\frac{2n}{n+3k} \le 2 \\
2n \le 2n+6k \\
0 \le 6k \\}\)
Co jest prawdą. Dalej:
\(\displaystyle{ \frac{2n}{n+3k} > 2 - \varepsilon \\
\varepsilon > 2 - \frac{2n}{n+3k} = \frac{2n+6k}{n+3k} - \frac{2n}{n+3k} = \frac{6k}{n+3k}}\)
Widzimy, że biorąc "małe" k i odpowiednio manipulując n, możemy uzyskać wartość spełniającą nierówność niezależnie od wartości epsilona (w pełni formalnie trzeba by wyznaczyć te stałe w zależności od epsilona, np.: przyjąć k=1 i wyznaczyć n w zależności od epsilona, ale myślę, że takie stwierdzenie wystarczy).
Zatem prawdą jest również drugi warunek, co kończy dowód.
-
Nixur
- Użytkownik
- Posty: 139
- Rejestracja: 20 lip 2006, o 20:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kutno
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 4 razy
kresy zbiorów
Dla jeszcze prostszego przykładu udało mi się chyba coś wymyślić. Zobaczcie czy poprawnie:
\(\displaystyle{ A={ \frac{1}{n}: n \in N }}\)
Z własności liczb naturalnych n+1>n>0, więc \(\displaystyle{ 0<\frac{1}{n+1}< \frac{1}{n}}\). Wobec tego liczbie minN=1 jest przyporządkowana liczba max A=1, czyli \(\displaystyle{ 1 \ge \frac{1}{n}>0}\). Z odpowiedniej własności wynika, że skoro istnieje max A to max A= sup A, więc sup A=1. Natomiast liczba 0 jest ograniczeniem dolnym zbioru A. Dla dowolnego m'>0 istnieje liczba a' postaci \(\displaystyle{ a'= \frac{b}{c}; b,c \in N}\), taka że m'>a'>0 co wynika z twierdzenia, ze między dwoma liczbami rzeczywistymi istnieje liczba wymierna. Weżmy liczbę a>0, taką że \(\displaystyle{ a= \frac{1}{c} \in A}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ a= \frac{1}{c} \le \frac{b}{c}=a'}\). Z aksjomatu przechodności relacji mniejszości otrzymujemy m'>a>0, co spełnia 2 warunek istnienia kresu dolnego, a liczba 0 jest kresem dolnym zbioru A.
-- 14 listopada 2009, 17:17 --
Od kiedy to można przestawiać kwantyfikator ogólny z kwantyfikatorem szczególnym?
\(\displaystyle{ A={ \frac{1}{n}: n \in N }}\)
Z własności liczb naturalnych n+1>n>0, więc \(\displaystyle{ 0<\frac{1}{n+1}< \frac{1}{n}}\). Wobec tego liczbie minN=1 jest przyporządkowana liczba max A=1, czyli \(\displaystyle{ 1 \ge \frac{1}{n}>0}\). Z odpowiedniej własności wynika, że skoro istnieje max A to max A= sup A, więc sup A=1. Natomiast liczba 0 jest ograniczeniem dolnym zbioru A. Dla dowolnego m'>0 istnieje liczba a' postaci \(\displaystyle{ a'= \frac{b}{c}; b,c \in N}\), taka że m'>a'>0 co wynika z twierdzenia, ze między dwoma liczbami rzeczywistymi istnieje liczba wymierna. Weżmy liczbę a>0, taką że \(\displaystyle{ a= \frac{1}{c} \in A}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ a= \frac{1}{c} \le \frac{b}{c}=a'}\). Z aksjomatu przechodności relacji mniejszości otrzymujemy m'>a>0, co spełnia 2 warunek istnienia kresu dolnego, a liczba 0 jest kresem dolnym zbioru A.
-- 14 listopada 2009, 17:17 --
Od kiedy to można przestawiać kwantyfikator ogólny z kwantyfikatorem szczególnym?
-
Lukasz_C747
- Użytkownik
- Posty: 379
- Rejestracja: 5 maja 2007, o 22:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wieluń
- Pomógł: 99 razy
kresy zbiorów
Przecież wyznaczam "a", czyli n i k naturalne, w zależności od wartości epsilona, a nie takie n i k, żeby były spełnione dla każdego epsilona. Jeśli chodzi ci o stwierdzenie "niezależnie od wartości epsilona", to ono oznacza, że takie n i k wyznaczymy, jakikolwiek byśmy epsilon nie wzięli - inaczej mówiąc, dla każdego espilona, istnieją odpowiednie n i k.