spradzenie rozwiązania - tran. la'placa funkcji okresowej

[Neonix]

Prosze o sprawdzenie dwóch zadań.
\(\displaystyle{ f(t)=sin(w*t +T)}\)

pierwszy krok
\(\displaystyle{ \mathcal{L} \{sin(w*t)\} \; = \frac{w}{s ^{2} + w ^{2} }}\)

drugi krok
wzór:
\(\displaystyle{ \mathcal{L} \{f(t)\} \; = \frac{F _{1}(s) }{(1-e ^{-sT} ) }}\)

gdzie \(\displaystyle{ F _{1}(s) = \mathcal{L} \{f _{1} (t)\}}\) - transformata z funkcji f(t) w pierwszym okresie

\(\displaystyle{ \mathcal{L} \{f(t)\} \; = \frac{w}{(s ^{2} + w ^{2})*(1-e ^{-sT} ) }}\)

zad 2

\(\displaystyle{ f(t)=t*cos(w*t +T)}\)

\(\displaystyle{ \mathcal{L} \{cos(w*t)\} \; = \frac{s}{s ^{2} + w ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \mathcal{L} \{t*cos(w*t)\} \; = \frac{ s^{2} - w ^{2} }{s ^{2} + w ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \mathcal{L} \{f(t)\} \; = \frac{s^{2} - w ^{2}}{(s ^{2} + w ^{2})*(1-e ^{-sT} ) }}\)

Czy to są dobre rozwiązanie? Z góry dzięki za pomoc.

[Dudenzz]

Trochę nie rozumiem Twojego toku rozumowania, ale wiem na pewno, że funkcje okresowe z przesunięciem można łatwo transformować znając ich transormaty bez przesunięcia (tak jak Ty znasz transformaty sinx i xcosx) mnożąc transormaty bez przesunięcia przez \(\displaystyle{ e^{(arg)q}}\) gdzie q to przesunięcie w dziedzinie transformaty a (arg) jest zależne od rodzaju transformaty, dla Laplace'a jest to s, poza tym zastanów się jaki jest sens istnienia T na płaszczyźnie transformaty (dowolnej, nie tylko Laplace'a)

[Neonix]

Samo w sobie T oznacza wartość przesunięcia tak?

pierwsze:
\(\displaystyle{ \mathcal{L} \{f(t)\} \; = \frac{w}{(s ^{2} + w ^{2}) }*(e ^{sT})}\)
drugie:
\(\displaystyle{ \mathcal{L} \{cos(w*t+T)\} \; = \frac{s}{s ^{2} + w ^{2}}*(e ^{sT})}\)

\(\displaystyle{ \mathcal{L} \{t*cos(w*t+T)\} \; = \frac{ s^{2}(s-1)^{2}+w^{2}(s^{2}+1)} {(s ^{2} + w ^{2})^{2} }* e ^{sT}}\)

czy wyniki powinien wyglądać tak?

[alek160]

\(\displaystyle{ Jesli \ zapiszemy \ funkcje \ okresowa \ (sinus) \ z \ przesunieciem \ fazowym \ (a),}\)

\(\displaystyle{ f(t)=Asin(wt+a)==A[sin(wt)*cos(a)+cos(wt)*sin(a)]}\)
\(\displaystyle{ gdzie:}\)
\(\displaystyle{ a-przesuniecie \ fazowe \ a \in (0,PI())}\)

\(\displaystyle{ wowczas \ istnieje \ przeksztalcenie \ Laplace'a \ i \ ma \ sens \ fizyczny.}\)

\(\displaystyle{ L[f(t)]=A* \frac{w*cos(a)+s*sin(a)}{s ^{2}+w ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ Pozdrawiam.}\)