Niech wektor \(\displaystyle{ (X, Y)}\) ma gęstość \(\displaystyle{ f_{X,Y}}\).
Weźmy transformację \(\displaystyle{ T: \begin{cases} U=U(X, Y)\\V=V(X, Y)\end{cases}}\)
oraz do niej odwrotną \(\displaystyle{ T^{-1}: \begin{cases} X=X(U, V)\\Y=Y(U,V)\end{cases}}\)
Wtedy przy pewnych założeniach gęstość wektora \(\displaystyle{ (U, V)}\) wyraża się następująco:
\(\displaystyle{ f_{U, V}(u, v) = f_{X, Y}(x(u, v), y(u, v))|J(T^{-1})|}\)
No i jednym z założeń jest żeby ta transformacja się ładnie odwracała. Czy gdy nie da się jej jednoznacznie odwrócić to nic nie jesteśmy w stanie zrobić? W szczególności mam przykład o dość dużej symetrii i być może w nim dałoby się to obejść.
Mam rozkład wektora \(\displaystyle{ (X, Y) = \mathcal{N}(0, I_2)}\), a poszukuję rozkład \(\displaystyle{ (X, X^2+Y^2)}\). No i tutaj powyższe twierdzenie już nie pójdzie bo mam tak:
\(\displaystyle{ T: \begin{cases} U=X\\V=X^2+Y^2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ T^{-1}: \begin{cases} X=U\\Y=\pm \sqrt{V-U^2}\end{cases}}\)
Czy gdyby brać tylko jedną gałąź Y to dałoby się przez jakieś np domnożenie otrzymać poprawny wynik?
Ewentualnie spróbuję liczyć ten rozkład bezpośrednio przez dystrybuantę ale też to nie wygląda zachęcająco.
W ogóle gęstość takiego rozkładu wyrazi się przy pomocy funkcji elementarnych?
Rozkład wektora, zamiana zmiennych
- Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Rozkład wektora, zamiana zmiennych
Problem z brodą, ale wiem jak go rozwiązać i może się jeszcze komuś to przyda.
Oznaczmy przez \(\displaystyle{ f_{(X,Y)}}\) gęstość wektora \(\displaystyle{ (X, Y).}\)
Zauważmy, że dla \(\displaystyle{ B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}^{2})}\):
\(\displaystyle{ P((X,Y)\in B)= \iint_{B}f_{(X,Y)}(x,y)dxdy}\)
Interesuje nas:
\(\displaystyle{ P(X\le t,\ X^{2} + Y^{2}\le z) = P(T(X,Y)\in (\infty, t]\times (-\infty, z]) =\\
= P((X,Y)\in T^{-1}((\infty, t]\times (-\infty, z])) = \iint\limits_{\substack{x\le t\\ x^{2} + y^{2}\le z}} f_{(X,Y)}(x,y)dxdy}\)
Dalej mamy:
\(\displaystyle{ f_{(X,Y)}(x,y) = \frac{1}{2\pi}\exp\left(-\frac{x^{2} + y^{2}}{2}\right)}\)
więc:
\(\displaystyle{ F_{(X, X^{2} + Y^{2})}(t, z)P(X\le t,\ X^{2} + Y^{2}\le z)= \iint\limits_{\substack{x\le t\\ x^{2} + y^{2}\le z}}\frac{1}{2\pi}\exp\left(-\frac{x^{2} + y^{2}}{2}\right) dxdy = \\
=\int\limits_{-\sqrt{z}}^{\min(\sqrt{z},t)}\int\limits_{-\sqrt{z - x^{2}}}^{\sqrt{z - x^{2}}}\frac{1}{2\pi}\exp\left(-\frac{x^{2} + y^{2}}{2}\right)dydx}\)
Dla \(\displaystyle{ tin (-infty,-sqrt{z}]cup [sqrt{z},infty)}\) gęstość wektora \(\displaystyle{ (X, X^{2} + Y^{2})}\) wyraża się więc wzorem:
\(\displaystyle{ \frac{\partial^{2}F(z,t)}{\partial z\partial t} = 0}\)
a dla \(\displaystyle{ t\in (-\sqrt{z},\sqrt{z})}\):
\(\displaystyle{ \frac{\partial^{2}F(z,t)}{\partial z\partial t} = \frac{\partial^{2}}{\partial z \partial t}\int\limits_{-\sqrt{z}}^{t}\int\limits_{-\sqrt{z - x^{2}}}^{\sqrt{z - x^{2}}}\frac{1}{2\pi}\exp\left(-\frac{x^{2} + y^{2}}{2}\right)dydx = \\
=\frac{\partial}{\partial z}\int\limits_{-\sqrt{z - t^{2}}}^{\sqrt{z - t^{2}}}\exp\left(-\frac{t^{2} + y^{2}}{2}\right)dy = \frac{1}{2\pi\sqrt{z-t^{2}}}\exp\left(-z\right)}\)
Oznaczmy przez \(\displaystyle{ f_{(X,Y)}}\) gęstość wektora \(\displaystyle{ (X, Y).}\)
Zauważmy, że dla \(\displaystyle{ B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}^{2})}\):
\(\displaystyle{ P((X,Y)\in B)= \iint_{B}f_{(X,Y)}(x,y)dxdy}\)
Interesuje nas:
\(\displaystyle{ P(X\le t,\ X^{2} + Y^{2}\le z) = P(T(X,Y)\in (\infty, t]\times (-\infty, z]) =\\
= P((X,Y)\in T^{-1}((\infty, t]\times (-\infty, z])) = \iint\limits_{\substack{x\le t\\ x^{2} + y^{2}\le z}} f_{(X,Y)}(x,y)dxdy}\)
Dalej mamy:
\(\displaystyle{ f_{(X,Y)}(x,y) = \frac{1}{2\pi}\exp\left(-\frac{x^{2} + y^{2}}{2}\right)}\)
więc:
\(\displaystyle{ F_{(X, X^{2} + Y^{2})}(t, z)P(X\le t,\ X^{2} + Y^{2}\le z)= \iint\limits_{\substack{x\le t\\ x^{2} + y^{2}\le z}}\frac{1}{2\pi}\exp\left(-\frac{x^{2} + y^{2}}{2}\right) dxdy = \\
=\int\limits_{-\sqrt{z}}^{\min(\sqrt{z},t)}\int\limits_{-\sqrt{z - x^{2}}}^{\sqrt{z - x^{2}}}\frac{1}{2\pi}\exp\left(-\frac{x^{2} + y^{2}}{2}\right)dydx}\)
Dla \(\displaystyle{ tin (-infty,-sqrt{z}]cup [sqrt{z},infty)}\) gęstość wektora \(\displaystyle{ (X, X^{2} + Y^{2})}\) wyraża się więc wzorem:
\(\displaystyle{ \frac{\partial^{2}F(z,t)}{\partial z\partial t} = 0}\)
a dla \(\displaystyle{ t\in (-\sqrt{z},\sqrt{z})}\):
\(\displaystyle{ \frac{\partial^{2}F(z,t)}{\partial z\partial t} = \frac{\partial^{2}}{\partial z \partial t}\int\limits_{-\sqrt{z}}^{t}\int\limits_{-\sqrt{z - x^{2}}}^{\sqrt{z - x^{2}}}\frac{1}{2\pi}\exp\left(-\frac{x^{2} + y^{2}}{2}\right)dydx = \\
=\frac{\partial}{\partial z}\int\limits_{-\sqrt{z - t^{2}}}^{\sqrt{z - t^{2}}}\exp\left(-\frac{t^{2} + y^{2}}{2}\right)dy = \frac{1}{2\pi\sqrt{z-t^{2}}}\exp\left(-z\right)}\)
- Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
Rozkład wektora, zamiana zmiennych
Tam na końcu w wykładniku oczywiście powinno być -z/2 ale to pewnie tylko literówkę zrobiłeś.
Heh, czyli jednak bezpośrednio przez dystrybuantę idzie... Rozpisałem tak samo jak Ty, tylko uparcie chciałem liczyć tamtą całkę po wycinku koła i do niczego nie doszedłem. Nie wiem czemu nie przeszedłem na gęstość. Wtedy jak widać elementarnie idzie: |
Widzę, że teorię prawdopodobieństwa poznajesz na uczelni bo buszujesz teraz w tym dziale: )
Zadanie wiekowe ale dobrze poznać na czym się kiedyś padło, dziękuję za pomoc!
Heh, czyli jednak bezpośrednio przez dystrybuantę idzie... Rozpisałem tak samo jak Ty, tylko uparcie chciałem liczyć tamtą całkę po wycinku koła i do niczego nie doszedłem. Nie wiem czemu nie przeszedłem na gęstość. Wtedy jak widać elementarnie idzie: |
Widzę, że teorię prawdopodobieństwa poznajesz na uczelni bo buszujesz teraz w tym dziale: )
Zadanie wiekowe ale dobrze poznać na czym się kiedyś padło, dziękuję za pomoc!