Jak wyznaczyc podzbiór liczb rzeczywistych

Gosiaczeqqq · Post autor: **Gosiaczeqqq** » 12 lis 2009, o 11:10

\(\displaystyle{ A= \left( x \in R \left|2x \right| > \left| 5-2x\right| \right)}\)

Umiał by ktoś coś takiego rozwiązać ?
z góry bardzo dziękuje.

Nie wiedziałam w jakim dziale to umieścić

Post autor: **lukki_173** » 12 lis 2009, o 14:24

Rozpatrz tą nierówność w trzech przedziałach:
\(\displaystyle{ 1. \ (-\infty;0)\\
2. \ <0;2\frac{1}{2})\\
3. \ <2\frac{1}{2};+\infty)}\)
Rozwiązaniem będzie suma rozwiązań z tych trzech przedziałów.
Pozdrawiam

Gosiaczeqqq · Post autor: **Gosiaczeqqq** » 12 lis 2009, o 14:59

a mógł bys rozwiązać ta nierównośc w pierwszym tym przedziale? zebym wiedziała jak reszte zrobic?

Mumas10 · Post autor: **Mumas10** » 12 lis 2009, o 15:34

\(\displaystyle{ |2x| >| 5-2x|}\)

\(\displaystyle{ 1 ^{0} \ x\in(-\infty;0>\\
-2x>-5+2x\\
4x<-5\\
x<- \frac{5}{4}\\
x\in(-\infty; - \frac{5}{4})\\\\

2 ^{0} \ x\in(0;2,5>\\
2x>-5+2x\\
0>-5\\
x\in(0;2,5>\\\\

3 ^{0} \ x\in(2,5;\infty)\\
2x>5-2x\\
4x>5\\
x> \frac{4}{5}\\
x\in(2,5;\infty)\\\\}\)

Odpowiedź: \(\displaystyle{ x\in(-\infty;- \frac{5}{4}) \cup (0;\infty)}\)

Gosiaczeqqq · Post autor: **Gosiaczeqqq** » 12 lis 2009, o 15:55

a coś takiego jak sie robi?

A= {\(\displaystyle{ x \in R \frac{1}{x+ \left|2-x \right| }}\) <2 }

Post autor: **lukki_173** » 12 lis 2009, o 16:30

Tak samo, tylko tutaj będą dwa przedziały. I nie zapomnij o założeniu, że mianownik musi być różny od zera.

Gosiaczeqqq · Post autor: **Gosiaczeqqq** » 12 lis 2009, o 16:48

A jakie to będą przedziały?
Od \(\displaystyle{ (-\infty;0)}\)
a drugi to \(\displaystyle{ (0;+\infty)}\)

Dobrze rozumiem?

Post autor: **lukki_173** » 12 lis 2009, o 16:50

Nie. To będą przedziały:
\(\displaystyle{ 1. \ (-\infty;2)\\
2. \ <2;+\infty)}\)
Przy określaniu przedziałów korzystasz ze wzoru:
\(\displaystyle{ |x|= \begin{cases}x \ dla \ \x \ge 0 \\ -x \ dla \ x<0 \end{cases}}\)

Gosiaczeqqq · Post autor: **Gosiaczeqqq** » 12 lis 2009, o 17:01

A możesz mi spr wynik czy w pierwszym przedziale który podales wyjdzie rozwiazane
\(\displaystyle{ x \in \left( - \infty ;-1\right) \cup \left( \frac{5}{4} ;2\right)}\)

Post autor: **lukki_173** » 12 lis 2009, o 17:06

A zrobiłaś założenie na mianownik?
Jeśli się nie pomyliłem to powinno wyjść z pierwszego przedziału:
\(\displaystyle{ x \in (-\infty;1) \cup (1;2)}\)

Gosiaczeqqq · Post autor: **Gosiaczeqqq** » 12 lis 2009, o 17:09

A możesz mi napisac jak do tego doszles?

Post autor: **lukki_173** » 12 lis 2009, o 17:16

Rozpatrujemy przedział \(\displaystyle{ (-\infty;2)}\). Wobec tego w wartości bezwzględnej znaki się nie zmienią.
Otrzymujemy, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x+2-x }<2 \Leftrightarrow \frac{1}{2}<2}\)
Co naturalnie jest prawdą. Czyli cały rozpatrywany przedział należy do rozwiązania. Ale...
Z założenia, że mianownik nie może być zerem mamy, że \(\displaystyle{ x\neq1}\). Wobec tego wyrzucamy 1 z naszego przedziału i odpowiedzią będzie:\(\displaystyle{ x \in (-\infty;1) \cup (1;2)}\)

Gosiaczeqqq · Post autor: **Gosiaczeqqq** » 12 lis 2009, o 17:22

a w drugim przedziale juz nalezy zmienic znaki tak?

Post autor: **lukki_173** » 12 lis 2009, o 17:24

Tak, należy zmienić. Czyli otrzymasz:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x-2+x }<2 \Leftrightarrow \frac{1}{2x-2}<2}\)

Gosiaczeqqq · Post autor: **Gosiaczeqqq** » 12 lis 2009, o 17:30

z tego wyszlo mi cos takiego
\(\displaystyle{ \frac{1-2 \left( 2x-2\right) }{2x-2} <0 \Leftrightarrow \left(5-4x \right) \left(2x-1 \right) <0 \Leftrightarrow x= \frac{5}{4}}\) i \(\displaystyle{ x = 1}\) i co dalej?