Formalny dowód rownosci zbiorow

[Duke]

Witam, jak dowieść równości takich zbiorów, wiem jak to zrobić w sposób licealny-banalne, ale nie wiem jak zrobić to formalnie ;[.
\(\displaystyle{ (A-B) cup (B-A) cup (A cap B)=(A cup B)}\)
Bo dla mnie to jest po prostu
\(\displaystyle{ (x \in A \wedge x \notin B) \vee (x \notin A \wedge x \in B) \vee (x \in A \wedge x \in B)=x \in A \vee X \in B}\)
to jest
\(\displaystyle{ (x \in A \vee x \in B) \vee (x \in A \wedge x \in B)=x \in A \wedge X \in B}\)
no i dalej tożsamość, ale wiem że tego nie uznają, więc jak to się robi w sposób formalny, z tymi założeniami, pudełkami itd.? HELP
\(\displaystyle{ (A \cup B) \cap (C \cup D)=(A \cap C) \cup (A \cap D) \cup (B \cap C) \cup (B \cap D)}\)-- 4 listopada 2009, 20:35 --JAK SIE ROBI TO DRUGIE

[lolomak]

mi tez sie przyda

[Elo-Rap]

Oczywiście możemy sobie założyc cztery zmienne zdaniowe, tak żeby nie było duzo pisania :

\(\displaystyle{ p = x \in A}\)
\(\displaystyle{ q = x \in B}\)
\(\displaystyle{ r = x \in C}\)
\(\displaystyle{ s = x \in D}\)

Zatem wyjdziemy od prawej strony :

\(\displaystyle{ (x \in A \cap x \in C) \cup (x \in A \cap x \in D) \cup (x \in B \cap x \in C) \cup (x \in B \cap x \in D) \iff [(p \wedge r) \vee (p \wedge s)] \vee [(q \wedge r) \vee (q \wedge s)] \iff}\)

Teraz korzystając z rozdzielnosci rachunku zdań mamy :

\(\displaystyle{ \iff [p \wedge (r \vee s) ] \vee [q \wedge (r \vee s)] \iff}\)

A teraz korzystając z przemiennosciłączności alternatywy i koniunkcji mamy :

\(\displaystyle{ \iff (p \vee q) \wedge [(r \vee s) \vee (r \vee s)] \iff (p \vee q) \wedge (r \vee s) \iff (x \in A \vee x \in B) \wedge (x \in C \vee x \in D) \iff (A \cup B) \cap (C \cup D)}\)

Pozdrawiam Maciek.