Szereg potęgowy.

[_Mithrandir]

Wiadomo, że szereg nazywamy potęgowym, jeżeli jest szeregiem postaci: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n(x - x_0)^n}\). Mam szereg potęgowy:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty nx^{4n}}\)

Środek to \(\displaystyle{ x_0=0}\).

Ale jak wyznaczyć tutaj \(\displaystyle{ a_n}\)?

[Dudenzz]

\(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{4}n \cdot \frac{(-1)^n+1}{2} \cdot \frac{(-1)^{\frac{n}{2}}+1}{2}}\)

Dlaczego tak, chcemy, żeby \(\displaystyle{ a_n}\) przyjmowało wartość \(\displaystyle{ \frac{1}{4}n}\) tylko dla wielokrotności 4, więc mnożymy \(\displaystyle{ \frac{1}{4}n}\) przez ciąg 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0... \(\displaystyle{ -1^n}\) da nam ciąg -1 1 -1 1 -1 1 więc dodajemy do niego 1 i dzielimy przez dwa, otrzymamy 1 0 1 0 1 0 1 0. Ciąg \(\displaystyle{ (-1)^\frac{n}{2}}\) da nam 1 i -1 -i 1 i -1 -i, podnosimy o 1 dzielimy przez 2, mnożymy przez pierwszy ciąg i mamy 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

[Nixur]

\(\displaystyle{ a _{n}(x-0) ^{n} =nx ^{4n}}\)
\(\displaystyle{ a _{n}x ^{n} =nx ^{3n}x _{n}}\)
dla \(\displaystyle{ x \neq 0}\)
\(\displaystyle{ a _{n}=nx ^{3n}}\)
dla x=0 \(\displaystyle{ a _{n} \in R}\)

[Dudenzz]

nie uważasz, że \(\displaystyle{ a_n}\) nie powinna być zależne od x. Jeżeli może być, to po co to przekształcenie .

[_Mithrandir]

Dudenzz ma rację.

Dlaczego tak, chcemy, żeby \(\displaystyle{ a_n}\) przyjmowało wartość
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}n}\)

Czemu ma przyjmować taką wartość?

Dokładnie, to ma wyjść:

\(\displaystyle{ a_n = \begin{cases} \frac{n}{4}, \; n=4k \\ 0, \; n \not = 4k \end{cases}}\)

[Dudenzz]

Napisałeś dokładnie tak jak ja

\(\displaystyle{ \frac{n}{4} = \frac{1}{4}n}\)

0 dla każdej innej wartości niż 4k zapewnia druga część wzoru.

Może spróbuje wyjaśnić to tak, podstawiając do mojego wzoru:

Dla n=1

\(\displaystyle{ a_1=\frac{1}{4} \cdot \frac{-1^{1}+1}{2} \cdot \frac{-1 ^ {0,5}+1}{2}}\)
\(\displaystyle{ a_1=0,25 \cdot 0 \cdot \frac{i+1}{2}}\)
\(\displaystyle{ a_1=0}\)

Dla n=2

\(\displaystyle{ a_2=\frac{2}{4} \cdot \frac{-1^{2}+1}{2} \cdot \frac{-1 ^ {1}+1}{2}}\)
\(\displaystyle{ a_2=0,5 \cdot 1 \cdot 0}\)
\(\displaystyle{ a_2=0}\)

Dla n=3

\(\displaystyle{ a_3=\frac{3}{4} \cdot \frac{-1^{3}+1}{2} \cdot \frac{-1 ^ {1,5}+1}{2}}\)
\(\displaystyle{ a_3=0,75 \cdot 0 \cdot \frac{1-i}{2}}\)
\(\displaystyle{ a_3=0}\)

Dla n=4

\(\displaystyle{ a_4=\frac{4}{4} \cdot \frac{-1^{4}+1}{2} \cdot \frac{-1 ^ {2}+1}{2}}\)
\(\displaystyle{ a_4=1 \cdot 1 \cdot 1}\)
\(\displaystyle{ a_4=1}\)

Teraz wróć do wyprowadzenia wzoru i zobacz w jaki sposób go uzyskałem, całkiem przydatne jest taka zabawa wersorami.

[_Mithrandir]

Że to "działa", to ja wiem

Pytanie tylko: skąd z góry wiedziałeś, że mamy otrzymać \(\displaystyle{ \frac{n}{4}}\) dla wielokrotności "4"?

[Dudenzz]

Aha, nie zrozumiałem.


\(\displaystyle{ \sum_{n}^{Z+} b_n \cdot x ^{f(n) \cdot n} \Rightarrow}\)

\(\displaystyle{ \Rightarrow \begin{cases} a_n=\frac{b_n}{f(n)}, n=f(n) \cdot k \\ a_n=0, n \neq f(n) \cdot k \end{cases}}\)

[_Mithrandir]

To jakieś twierdzenie?