[Równania] układ równań z kółka H. pawłowskiego.

[gendion]

rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=2 \\ x^2+y^2+z^2=14 \\ x^3+y^3+z^3=20 \end{cases}}\)
rozwiązanie "książkowe":
weźmy wielomian \(\displaystyle{ f(t)=(t-x)(t-y)(t-z)=t^3+ \alpha t^2+ \beta t+ \gamma}\)
liczbymy \(\displaystyle{ \alpha=-2}\)
\(\displaystyle{ \beta=-5}\)
dalej mnożymy pierwsze równanie przez \(\displaystyle{ \beta}\) , drugie przez \(\displaystyle{ \alpha}\), trzecie zostawiamy w spokoju i dodajemy stronami:
\(\displaystyle{ (x^3+ \alpha x^2+\beta x)+(y^3+ \alpha y^2+\beta y)+(z^3+ \alpha z^2+\beta z) =20+14 \alpha+2 \beta}\)
stąd: \(\displaystyle{ -3 \gamma =20+14 \cdot (-2)+2 \cdot (-5)=-18}\)
dlaczego to co po lewej stronie jest równe \(\displaystyle{ -3 \gamma}\) ?
Podejrzewam, że każdy nawias jest równy \(\displaystyle{ - \gamma}\). ale nie mam pojęcia dlaczego?

[mm-aops]

x, y, z sa pierwiastkami tego rownania, czyli \(\displaystyle{ x^3+ \alpha x^2+\beta x + \gamma = 0}\) wiec \(\displaystyle{ x^3+ \alpha x^2+\beta x = - \gamma}\) analogicznie dla y i z