Wykaż, że jeśli a i b są liczbami dodatnimi...

[MsJustine]

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są liczbami dodatnimi, takimi że \(\displaystyle{ a\ge b}\), to:
\(\displaystyle{ \sqrt{a+b+2 \sqrt{ab}}-\sqrt{a+b-2 \sqrt{ab}}= 2\sqrt{b}}\).

[anna_]

\(\displaystyle{ \sqrt{a+b+2 \sqrt{ab}}-\sqrt{a+b-2 \sqrt{ab} }=\sqrt{( \sqrt{a} )^2+2 \sqrt{ab}+( \sqrt{b} )^2 }}-\sqrt{( \sqrt{a} )^2-2 \sqrt{ab}+( \sqrt{b} )^2 }=\sqrt{( \sqrt{a}+ \sqrt{b} )^2 }- \sqrt{( \sqrt{a}- \sqrt{b} )^2 }=|\sqrt{a}+ \sqrt{b}|-|\sqrt{a}- \sqrt{b}|=\sqrt{a}+ \sqrt{b}-\sqrt{a}+ \sqrt{b}=2 \sqrt{b}}\)

[Syrio]

Wybaczcie że odświeżam temat po 5 latach, ale akurat rozwiązuję to zadanie i zastanawiam się nad kilkoma przekształceniami m.in co to za własność że w trzeciej "części"
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{ab}}\) oraz \(\displaystyle{ -2 \sqrt{ab}}\)
znikają i zamieniają się w
\(\displaystyle{ \sqrt{( \sqrt{a} + \sqrt{b} ) ^{2} }}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{( \sqrt{a} - \sqrt{b} ) ^{2} }}\).
Zastanawia mnie też dlaczego za tym wyrażeniem jest wartość bezwzględna tych wyrażeń, czy nie można by od razu zapisać tak jak jest dalej?

[musialmi]

Można, dzięki założeniu, że \(\displaystyle{ a \ge b}\). Ogólnie możesz od razu po pierwszym znaku równości napisać wynik. Każdy pisze tyle przejść, ile potrzebuje, a to jest forum, więc każdy chce być zrozumianym w 100%

[Syrio]

A wytłumaczyłbyś mi to trochę dokładniej

[mortan517]

Zostały wykorzystane wzory skróconego mnożenia:
\(\displaystyle{ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2}\) oraz \(\displaystyle{ (x-y)^2=x^2-2xy+y^2}\)

A następnie zależność:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2} = |x|}\)

[Syrio]

Wielki dzięki mortan517, mam jeszcze jedno pytanko, dlaczego w tym wyrażeniu zmieniają się znaki?
\(\displaystyle{ |\sqrt{a}+ \sqrt{b}|-|\sqrt{a}- \sqrt{b}|=\sqrt{a}+ \sqrt{b}-\sqrt{a}+ \sqrt{b}=2 \sqrt{b}}\)

[mortan517]

\(\displaystyle{ |a| = \begin{cases} a & \mbox{dla } a \geqslant 0 \\ -a & \mbox{dla } a < 0. \end{cases}}\)

Z definicji korzystasz / oraz z założenia: \(\displaystyle{ a\ge b}\)

[Syrio]

Dzięki teraz rozumiem

-- 2 wrz 2014, o 18:30 --

Wybaczcie że piszę posta pod postem, ale nadal mi to zadanie chodzi po głowie, nie rozumiem, dlaczego tutaj \(\displaystyle{ |\sqrt{a}+ \sqrt{b}|-|\sqrt{a}- \sqrt{b}|=\sqrt{a}+ \sqrt{b}-\sqrt{a}+ \sqrt{b}=2 \sqrt{b}}\) zmieniają się znaki skoro \(\displaystyle{ a \ge b}\) to \(\displaystyle{ a - b}\) nie będzie mogło się równać mniej niż zero, więc znaki nie powinny się zmienić dla wartości bezwzględnej. -- 2 wrz 2014, o 21:07 --Ok już nie ważne