własności relacji- odwzorowania

[lary]

nie wiem czy w dorym dziale zamieszczam swój temat, ale mniejsza o to. Mam problem z rozwiązaniem tych zadań:
zad 1
zbadaj własności (zwrotność, symetryczność, przechodniość) relacji
\(\displaystyle{ g \subset Z ^{2} \wedge xgy \Leftrightarrow
a, b \in N x-y=a+bi}\)

zad 2
Zbadaj czy iloczyn dwóch relacji przechodnich na zbiorze A jest relacją przechodnią na tym zbiorze

[Jan Kraszewski]

zad 1
zbadaj własności (zwrotność, symetryczność, przechodniość) relacji
\(\displaystyle{ g \subset Z ^{2} \wedge xgy \Leftrightarrow
a, b \in N x-y=a+bi}\)

Czy chodzi Ci o relację
\(\displaystyle{ g \subseteq \mathbb{C}^2}\),
zdefiniowaną warunkiem
\(\displaystyle{ xgy \Leftrightarrow (\exists a,b\in\mathbb{N})x-y=a+bi}\)
?

JK

[lary]

chodzi o to że ro (nie mam alfabetu greckiego więc nie mogę tego zapisac) zawiera w zbiorze liczb zespolonych ZxZ
i relacja
\(\displaystyle{ x (ro) y \Leftrightarrow (\exists a,b\in\mathbb{N})x-y=a+bi}\)

[Jan Kraszewski]

ro to
ho: \(\displaystyle{ \rho}\)
Liczby zespolone w ogólnie przyjętej notacji to \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\).

Czyli jest tak, jak napisałem.

Relacja \(\displaystyle{ \rho}\) jest zwrotna, bo dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in\mathbb{C}}\) mamy \(\displaystyle{ x-x=0=0+i0}\).
Relacja nie jest symetryczna, bo \(\displaystyle{ 2,1\in\mathbb{C}}\) mamy \(\displaystyle{ 2-1=1=1+0i}\), ale \(\displaystyle{ 1-2=-1=-1+0i}\), a przecież \(\displaystyle{ -1\notin\mathbb{N}}\).
Gdybyśmy od liczb \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) oczekiwali tylko, by były całkowite, to relacja byłaby symetryczna.

Relacja jest przechodnia, bo dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y,z\in\mathbb{C}}\) jeśli \(\displaystyle{ x-y=a+bi}\) i \(\displaystyle{ y-z=c+di}\), to \(\displaystyle{ x-z=(x-y)+(y-z)=(a+c)+(b+d)i}\).

JK

[lary]

ro to
ho: \(\displaystyle{ \rho}\)
Liczby zespolone w ogólnie przyjętej notacji to \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\).

Czyli jest tak, jak napisałem.

Relacja \(\displaystyle{ \rho}\) jest zwrotna, bo dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in\mathbb{C}}\) mamy \(\displaystyle{ x-x=0=0+i0}\).
Relacja nie jest symetryczna, bo \(\displaystyle{ 2,1\in\mathbb{C}}\) mamy \(\displaystyle{ 2-1=1=1+0i}\), ale \(\displaystyle{ 1-2=-1=-1+0i}\), a przecież \(\displaystyle{ -1\notin\mathbb{N}}\).
Gdybyśmy od liczb \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) oczekiwali tylko, by były całkowite, to relacja byłaby symetryczna.

Relacja jest przechodnia, bo dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y,z\in\mathbb{C}}\) jeśli \(\displaystyle{ x-y=a+bi}\) i \(\displaystyle{ y-z=c+di}\), to \(\displaystyle{ x-z=(x-y)+(y-z)=(a+c)+(b+d)i}\).

JK

a skąd mam wiedzieć ile równa się x-z?-- 8 lis 2009, o 18:56 --jeśli x-y= a+bi to y-z= -b+ci
x-z=a+ci

????

[Jan Kraszewski]

a skąd mam wiedzieć ile równa się x-z?

Dziewczyno, przecież Ci napisałem

Relacja jest przechodnia, bo dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y,z\in\mathbb{C}}\) jeśli \(\displaystyle{ x-y=a+bi}\) i \(\displaystyle{ y-z=c+di}\), to \(\displaystyle{ x-z=(x-y)+(y-z)=(a+c)+(b+d)i}\).

Powtarzam: \(\displaystyle{ x-z=(x-y)+(y-z)}\) (jak łatwo sprawdzić...).

jeśli x-y= a+bi to y-z= -b+ci
x-z=a+ci

????

Wiesz, jak sprawdza się przechodniość relacji?
Ustalasz dowolne \(\displaystyle{ x,y,z\in\mathbb{C}}\) takie, że \(\displaystyle{ (x,y)\in\rho}\) i \(\displaystyle{ (y,z)\in\rho}\). To jest Twoje założenie, zatem wiesz, że istnieją \(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{N}}\), takie że \(\displaystyle{ x-y=a+bi}\) oraz \(\displaystyle{ c,d\in\mathbb{N}}\), takie że \(\displaystyle{ y-z=c+di}\). To wynika z definicji relacji \(\displaystyle{ \rho}\).

Dopiero teraz przystępujesz do sprawdzania, czy \(\displaystyle{ (x,z)\in\rho}\). Ponieważ, jak już zauważyliśmy, \(\displaystyle{ x-z=(x-y)+(y-z)}\), więc \(\displaystyle{ x-z=(a+c)+(b+d)i}\). Ale \(\displaystyle{ a+c,b+d\in\mathbb{N}}\) zatem, zgodnie z definicją \(\displaystyle{ \rho}\), mamy \(\displaystyle{ (x,z)\in\rho}\), co należało dowieść.

JK

[lary]

Dziękuje, trzeba było od razu tak napisać
ktoś kto nie zna dobrze matematyki nie rozumie skrótów myślowych i należy mu rozpisywać zadanie krok po kroku

[Jan Kraszewski]

Dziękuje, trzeba było od razu tak napisać

Proszę.

JK