1. Oblicz \(\displaystyle{ \int_{}^{L} ye ^{-x} dl}\), gdzie L jest krzywą zadaną parametrycznie wzorami \(\displaystyle{ x=ln(1+t^{2})}\), \(\displaystyle{ y= (2arctgt)-t+3}\) dla \(\displaystyle{ 0 \le t \le 1}\) .
wiec
\(\displaystyle{ x'= \frac{2t}{1+t^{2}}}\)
\(\displaystyle{ y'= \frac{2}{1+t^{2}} -1}\)
same pochodne sa straszne a jeszcze ich podniesienie do kwadratu i podstawienie pod ten pierwiastek daje całkę z ktora nie moge sobie poradzic.
Całka krzywoliniowa
-
miodzio1988
Całka krzywoliniowa
Tak? A ja jestem pewny, że jak podniesiesz te pochodne do kwadratu to wyjdzie coś ładnego. Sprobuj. Te przyklady są tak ulozone zeby jednak ładne rzeczy wychodzily
-
see-you
- Użytkownik
- Posty: 144
- Rejestracja: 8 maja 2007, o 17:53
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 3 razy
Całka krzywoliniowa
szczerze, to sam wyglad tego mnie zniechecil
\(\displaystyle{ ( x')^{2}= \frac{4t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}}\)
\(\displaystyle{ (y')^{2}=( \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} )^{2}= \frac{ (1-t^{2})^{2} }{(1+t^{2})^{2}}}\)
i wstawiam w pierwiastek
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{4t^{2}+1-2t^{2}+t^{4}}{(1+t^{2})^{2}} } =\frac{(1+t^{2})^{2} }{(1+t^{2})^{2}} =1}\)
dobrze to? bo jezeli tak to rzeczywiscie masz racje
jeszcze tylko całka, ktora zaraz sprobuje policzyc
\(\displaystyle{ ( x')^{2}= \frac{4t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}}\)
\(\displaystyle{ (y')^{2}=( \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} )^{2}= \frac{ (1-t^{2})^{2} }{(1+t^{2})^{2}}}\)
i wstawiam w pierwiastek
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{4t^{2}+1-2t^{2}+t^{4}}{(1+t^{2})^{2}} } =\frac{(1+t^{2})^{2} }{(1+t^{2})^{2}} =1}\)
dobrze to? bo jezeli tak to rzeczywiscie masz racje
jeszcze tylko całka, ktora zaraz sprobuje policzyc
-
see-you
- Użytkownik
- Posty: 144
- Rejestracja: 8 maja 2007, o 17:53
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 3 razy
Całka krzywoliniowa
z całką to jest gorzej
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} (2arctgt-t+3)e ^{-ln(1+t^{2}} dt=\int_{0}^{1} (2arctgt-t+3)\frac{1}{(1+t^{2}) } dt=\int_{0}^{1} \frac{2arctgt}{(1+t^{2}) } dt-\int_{0}^{1} \frac{t}{(1+t^{2}) } dt+\int_{0}^{1} \frac{3}{(1+t^{2}) } dt}\)
całka 2
\(\displaystyle{ - \int \frac{t}{(1+t^{2}) } dt=- \frac{1}{2} ln(1+t^{2})}\)
podstawiajac granice \(\displaystyle{ =- \frac{1}{2}ln2}\)
całka 3
\(\displaystyle{ \int \frac{3}{(1+t^{2}) } dt=3 arctg t}\)
podst granice\(\displaystyle{ = 3 \frac{ \pi }{4}}\)
całka 1
\(\displaystyle{ arctgt=u}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+t^{2}} dt=du}\)
nowe granice 0 i pi/4
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{\pi}{4} } 2u du = \frac{\pi}{4} ^{2}}\)
wynik ostateczny
\(\displaystyle{ =- \frac{1}{2}ln2+ 3 \frac{ \pi }{4}+\frac{\pi}{4} ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} (2arctgt-t+3)e ^{-ln(1+t^{2}} dt=\int_{0}^{1} (2arctgt-t+3)\frac{1}{(1+t^{2}) } dt=\int_{0}^{1} \frac{2arctgt}{(1+t^{2}) } dt-\int_{0}^{1} \frac{t}{(1+t^{2}) } dt+\int_{0}^{1} \frac{3}{(1+t^{2}) } dt}\)
całka 2
\(\displaystyle{ - \int \frac{t}{(1+t^{2}) } dt=- \frac{1}{2} ln(1+t^{2})}\)
podstawiajac granice \(\displaystyle{ =- \frac{1}{2}ln2}\)
całka 3
\(\displaystyle{ \int \frac{3}{(1+t^{2}) } dt=3 arctg t}\)
podst granice\(\displaystyle{ = 3 \frac{ \pi }{4}}\)
całka 1
\(\displaystyle{ arctgt=u}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+t^{2}} dt=du}\)
nowe granice 0 i pi/4
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{\pi}{4} } 2u du = \frac{\pi}{4} ^{2}}\)
wynik ostateczny
\(\displaystyle{ =- \frac{1}{2}ln2+ 3 \frac{ \pi }{4}+\frac{\pi}{4} ^{2}}\)