Liczenie granic dwóch ciągów wzajemnie rekurencyjnych

[Rodis]

Dane jest:
\(\displaystyle{ a_1 = 2}\)
\(\displaystyle{ b_1 = 1}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2}}\)
\(\displaystyle{ b_{n+1} = \sqrt{a_nb_n}}\)

Pokazanie, że te dwa ciągi są zbieżne i to do tej samej granicy nie jest wyzwaniem, ale policzenie dokładne tej granicy sprawia problem. Mógłby ktoś pomóc?

[Wasilewski]

A wiesz coś o całkach eliptycznych? Bo zdaje się, że takie cudo jest tu wynikiem (informacje na ten temat można znaleźć w podręczniku Fichtenholza).

[Rodis]

Sorry, ale nie
A ten podręcznik to na jaki etap nauczania?

[Wasilewski]

Pewnie pierwszy i drugi rok studiów; zależy, który tom.

[Rodis]

To jeszcze trochę.
A nie istnieje może jakiś sposób wymagający mniej zaawansowanych metod?

[Wasilewski]

Żeby otrzymać jakiś wynik liczbowy, to trzeba się posiłkować metodami numerycznymi, zatem możesz dostać przybliżony rezultat korzystając z arkusza kalkulacyjnego (po prostu skorzystaj ze wzoru rekurencyjnego).

[Rodis]

To już policzyłem. Wychodzi jakieś 1.456791..., ale nie o to mi chodzi.
Może da się jakoś przekształcić wzory, żeby zniknęły odwołania do drugiego ciągu?

[Wasilewski]

To się da zrobić, ale nie przybliża nas to do wyniku:
\(\displaystyle{ b_{n+2} = \sqrt{a_{n+1} b_{n+1}} \Rightarrow a_{n+1} = \frac{(b_{n+2})^{2}}{b_{n+1}} \\
b_{n+1} = \sqrt{a_{n}b_{n} \Rightarrow a_{n} = \frac{(b_{n+1})^{2}}{b_{n}}}\)
Po wstawieniu do drugiej równości:
\(\displaystyle{ \frac{(b_{n+2})^{2}}{b_{n+1}} = \frac{\frac{(b_{n+1})^{2}}{b_{n}} + b_{n}}{2} \\
(b_{n+2})^{2} = \frac{(b_{n+1})^{3} + b_{n}^{2}\cdot b_{n+1}}{2b_{n}}}\)