Obliczyć granicę ciągu

[Stanley1]

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[6]{2} \ldots \sqrt[2n]{2}}\)

[Elo-Rap]

Hmm nie jestem pewien ale chyba należy to przekształcic do postaci :

\(\displaystyle{ 2^{\frac{1}{2}} * 2^{\frac{1}{4}} * ... * 2^{\frac{1}{2n}} = 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2n}}}\)

Ale nie dam głowy ze tak trzeba to zrobic i co zrobic dalej...

[czlowiek_widmo]

szereg \(\displaystyle{ \sum_{1}^{ \infty } \frac{1}{2n}}\) jest rozbiezny do nieskonczonosci wiec granica ciagu jest \(\displaystyle{ 2^{ \infty } = \infty}\)... jestes pewien ze w przykladzie pierwiastki sa poteg 2, 4, 6....2n, a nie 2, 4, 8, ..., \(\displaystyle{ 2^{n}}\) ? Bo wtedy by wyszlo bardzo prosto.

[Stanley1]

Faktycznie... Powinno być \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[8]{2} \ldots \sqrt[2^{n}]{2}}\)
Przez pół godziny się głowiłem nad tym jak to zrobić i nie zauważyłem swojego błędu...

[czlowiek_widmo]

No to teraz jest z gorki, bo \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{1}{ 2^{k} } = 1}\)

[Elo-Rap]

Można jeszcze inaczej w sumie wnioskowac ale nie jestem pewien :

\(\displaystyle{ \sqrt[2+4+...2n]{2}}\)

A poniewaz stopień pierwiastka rośnie bez zwiększania wartości pierwiastka to cała ta suma musi dążyc do 1.