Prawdopodobieństwo geometryczne

[TheBizarre]

Witam,

Przygotowuję się właśnie do poniedziałkowego kolokwium z rachunku prawdopodobieństwa i mam problemy dotyczące niektórych zadań. Poproszę o rozwiązanie, tudzież ukierunkowanie mnie abym sam mógł dojść do prawidłowej odpwiedzi.

1) Ola i Ala wychodzą z domu do pracy zawsze o 7:00. Ich drogi pokrywają się na odcinku AB. Ala idzie z A do B, Ola odwrotnie. Ala dochodzi do A (Ola do B) w przypadkowym momencie między 7:30 a 7:45 i idzie ze stałą prędkością p. Oblicz prawdopodobieństwo spotkania pań.

2) Na okręgu umieszczono losowo 3 punkty: A,B,C. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trójkąt ABC jest ostrokątny?

3) Na odcinku AB umieszczono losowo dwa punkty L i M. Oblicz prawdopodobieństwo, że z L jest bliżej do M niż do A.

[xiikzodz]

2) Każdy z tych trzech punktów jest w biegunie pewnego półokręgu. Trójkąt jest ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy te trzy półokręgi mają puste przecięcie. Nieco wygodniej jest policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego. Pierwszy z trzech punktów, możemy bez zmniejszenia ogólności postawić w punkcie \(\displaystyle{ (0,1)}\) okręgu jednostkowego o środku w zerze. Każdy punkt jest jendnoznacznie wyznaczony kątem, czyli liczbą z przedziału \(\displaystyle{ [0,2pi)}\). Jeśli te kąty oznaczymy \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\), to \(\displaystyle{ \alpha =0}\), bo tak ustawiliśmy. Możemy również przyjąć \(\displaystyle{ \beta\le\pi}\) - w przeciwnym razie odbijamy względem osi OX. Długość łuku, będącego przecięciem półokręgów odpowiadających punktowi \(\displaystyle{ \alpha}\) i punktowi \(\displaystyle{ \beta}\) to: \(\displaystyle{ \pi-\beta}\). Zatem przy ustalonych punktach \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) prawdopodobieństwo tego, że łuk wyznaczony przez \(\displaystyle{ \gamma}\) zawadzi o łuk wyznaczony przez \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) wynosi: \(\displaystyle{ \frac{2\pi-(\pi-\beta)}{2\pi}=\frac{\pi+\beta}{2\pi}}\). Pozostaje więc obliczyć prawdopodobieństwo:

\(\displaystyle{ \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{\pi + \beta}{2\pi}\mbox{d}\beta=\frac 1\pi\left[\frac{\pi\beta}{2\pi}+\frac{\beta^2}{4\pi}\right]_0^{\pi}=\frac 34}\).

Przypominamy sobie, że to jest prawdopodobieństwo wylosowania rozwartokątnego, więc ostrokątnego wynosi \(\displaystyle{ \frac 14}\) (prostokątne losujemy z p-stwem 0).