XXV Konkurs Matematyczny im. prof. J. Marszała(e. powiatowy)

[monte1810]

Witam. Mam zadania z tegorocznego konkursu matematycznego im. prof. J. Marszała dla klas pierwszych z etapu powiatowego.
Będę bardzo wdzięczna za rozwiązanie tych zadań

Zadanie 1.
Rozwiązać w zbiorze liczb rzeczywistych równanie: 4\(\displaystyle{ x^{2}}\) + 9\(\displaystyle{ y^{2}}\) +16\(\displaystyle{ z^{2}}\) +3 = 2(2x + 3y + 4z).

Zadanie 2.
Ile boków ma wielokąt, jeżeli ich liczba jest k razy większa od liczby przekątnych wychodzących z jednego wierzchołka?

Zadanie 3.
Znaleźć taką najmniejszą liczbę naturalną n, aby liczby postaci n+1 oraz n-110 były kwadratami liczb naturalnych.

Z góry dziękuję
Pozdrawiam ;*

[krystian8207]

1.Mnozysz przez nawias po prawej potem przezucasz na lewo i doszukujesz sie wz. skr. mn.
Wyjdzie ci suma trzech kwadratow rownych zero. Potem przyrownujesz podstawe kazdej z trzech poteg (osobno) do zera. I wyliczasz x, y i z.

O ile dobrze pamietam to wyszlo mi \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}, y= \frac{1}{3}, z= \frac{1}{4}}\)

W drugim trzeba zauwazyc, że ilosc bokow jest zawsze o 3 wieksza od ilosci przekatnych.

A w trzecim to wiem, ze ma byc 399 ale nie potrafilem tego policzyc ukladem. Poprostu rozpisalem kwadraty liczb od 1 do 20 i wyszukalem ta liczbe n.

[jerzozwierz]

1.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ (2x-1)^{2}+(3y-1)^{2}+(4y-1)^{2}=0}\)

2. kontrowersyjne, ja uznałem że k nie musi być całkowite, niektórzy inaczej.

Ukryta treść:    

Ogólnie to liczba przekątnych to n-3, więc
\(\displaystyle{ k(n-3)=n \Leftrightarrow kn-3k=n \Leftrightarrow n(k-1)=3k \Leftrightarrow n= \frac{3k}{k-1}}\).
Jakby szukać w liczbach naturalnych, to wychodzi że 3 musi dzielić się przez k-1, z czego n=4 lub n=6

3.

Ukryta treść:    

łatwe, dostajemy równanie diofantyczne \(\displaystyle{ (x+y)(x-y)=111}\). ostatecznie n=399.

[krystian8207]

Ej w tym trzecim to jak to rownanie diofantyczne rozwiazac?

[knrdk]

Zadania dla klas trzecich.

1. Rozwiązać w liczbach całkowitych:
\(\displaystyle{ x + y = x^{2} -xy + y^{2}}\)
2. \(\displaystyle{ h _{a},h _{b},h _{c}}\) są wysokościami trójkąta, a r promieniem okręgu wpisanego na tym trójkącie, udowodnić że:
\(\displaystyle{ \frac{h _{a} + h _{b} + h _{c}}{3} \ge 3r}\)
3. Dowieść że dla liczb a,b,c dodatnich zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \frac{ab}{a + b} + \frac{bc}{b + c} + \frac{ac}{a + c} \le \frac{a + b + c}{2}}\)

ad.1

Ukryta treść:    

Przekształcamy do postaci:
\(\displaystyle{ x^{2} -x(y+1) + y^{2}-y = 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\) dostajemy stąd \(\displaystyle{ y \in \lbrace 0,1,2 \rbrace}\)
Rozpatrujemy trzy przypadki w zależności od y, skąd po rozwiązaniu równań kwadratowych dostajemy rozwiązania (x,y): (0,0),(2,2),(1,0),(0,1),(2,1),(1,2)

ad.2

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}(a+b+c)r \Rightarrow r = \frac{2P}{a + b +c}}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}a h_{a} \Rightarrow h_{a}= \frac{2P}{a}}\)
\(\displaystyle{ h_{b}= \frac{2P}{b}}\)
\(\displaystyle{ h_{c}= \frac{2P}{c}}\)
Podstawiając do nierówności z zadania:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{a} \ge 9 \frac{1}{a+b+c}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{a}{c} + \frac{c}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \ge 6}\)
A to zachodzi na podstawie lematu:
\(\displaystyle{ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} - 2xy + y ^{2} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ (x-y) ^{2} \ge 0}\)

ad.3

Ukryta treść:    

Z nierówności Cauchy'ego dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac{2}{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \le \frac{a + b}{2}}\) Co po przekształceniach daje:
\(\displaystyle{ \frac{ab}{a+b} \le \frac{a+b}{4}}\)
Podobnie dla b,c i a,c
\(\displaystyle{ \frac{bc}{b+c} \le \frac{b+c}{4}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ac}{a+c} \le \frac{a+c}{4}}\)
Dodając te trzy nierówności stronami otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{ab}{a + b} + \frac{bc}{b + c} + \frac{ac}{a + c} \le \frac{a + b + c}{2}}\)
Czyli tezę zadania.

Krystian -> rozkład liczby 111 na czynniki pierwsze.

[Matti91]

Zadanie 3
klasy trzecie

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \frac{a+b}{2} \ge \frac{2}{ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{a+c}{2} \ge \frac{2}{ \frac{1}{a}+ \frac{1}{c} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{b+c}{2} \ge \frac{2}{ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} }}\)
dodajemy stronami wyliczamy i koniec

[Desmondo]

To ja jeszcze wrzucę zadania dla klas drugich.
1. Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x(x+1)(3x+5y)=144\\x^{2}+4x+5y=24\end{cases}}\)
2. Podać wymiary takiego prostokąta, którego pole jest największe przy stałym obwodzie m.
3. Dowieść, że jeżeli \(\displaystyle{ x,y \ge 0}\), to \(\displaystyle{ \frac{1}{2^{4}}(xy+2x+2y+4) \ge \frac{xy}{x+y}}\). Uzasadnić, kiedy zachodzi równość.

[monte1810]

Ale głupi błąd palnęłam ;P

[rutra]

Nad 1. zadaniem długo się męczyłem, kombinowałem.

\(\displaystyle{ 4x ^{2}+9y ^{2}}\) dałem wzór skróconego mnożenia
\(\displaystyle{ (2x+3y)(2x+3y)}\)

Do \(\displaystyle{ 16z ^{2}+3}\) dałem \(\displaystyle{ (4z+ \sqrt{3} ) (4+ \sqrt{3} )}\)

Później jakość pokombinowałem, za x podstawiłem 1, za y podstawiłem 2 i obliczyłem z, ale to chyba źle.

Jeśli chodzi o drugie zadanie to mi wyszły 4 boki.

Natomiast trzecie zrobiłem wtabelce. W 1. kolumnie dałem n, w drugiej n+1, w trzeciej n-110. Tam gdziejest n+1 dawałem kolejno 121, 169, 196... czyli kwadraty kolejnych liczb, obliczałem n, oraz n-110 i wkońcu wyszło n+1=400 n=399 n-110=289

\(\displaystyle{ n+1 = 20 ^{2}}\)
\(\displaystyle{ n-110 = 17 ^{2}}\)

Jest kwadrat liczby naturalnej, więc szukane \(\displaystyle{ n=399.}\)

[agus03A]

Rozwiążcie prosze zadania dla klasy 2 ;]

[jerzozwierz]

2 klasa:
1.

Ukryta treść:    

zauważ, że pierwsze równanie to \(\displaystyle{ (x^{2}+x)(3x+5y)}\). Podstawimy teraz sobie \(\displaystyle{ a=x^{2}+x \wedge b=3x+5y}\).
Mamy układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} ab=144 \\ a+b=24 \end{cases}}\). Dalej łatwo.

2.

Ukryta treść:    

Banał jak ze sprawdzianu dla humana.

3.

Ukryta treść:    

Pomnożyć przez 2(x+y) obie strony, wymnożyć to co po lewej, potem cauchy
\(\displaystyle{ \frac{x^{2}y+2x^{2}+2xy+4x+xy^{2}+2xy+2y^2+4y}{8} \ge \sqrt[8]{2^{8}x^{8}y^{8}} =2xy}\) co kończy dowód. Równość wtedy gdy wszystkie są równe, nietrudno znaleźć.

Wszystkie klasy strasznie proste te zadania

[prox]

jerzozwierz, co do zadania 3 dla klas II to chyba chodzilo ci o obustronne pomnozenie przez 2(x+y), a nie 2xy

[jerzozwierz]

Racja, pomyłka Poprawione.-- 11 lis 2009, o 12:12 --Wie ktoś może gdzie (i kiedy) szukać wyników?

[Matti91]

Ktoś może wie na jakiej podstawie kwalifikują do następnego etapu? Bo wg regulaminu wystarczy zdobyć jedno z trzech pierwszych miejsc w powiecie. Jednak patrząc na listę osób z ubiegłego roku to nie z każdego powiatu jest te 3 osoby Jak by ktoś wiedział to proszę o odpowiedź
Wyniki powinny się ukazać na stronie:

Kod: Zaznacz cały

http://lo-lancut.pl/konkurs-marszala/aktualnosci

[knrdk]

Pojawiła się już

Kod: Zaznacz cały

http://lo-lancut.pl/inne/dokumenty/xxv-km/lista-finalistow-xxv-km.pdf

.

Konkurs odbędzie się w tym samym dniu (27.11) co rozszerzona matura z Operonu ...

Proszę o kontakt w sprawie zmiany terminu finału XXV KM na 4 grudnia 2009 z powodu Matury Próbnej Operon na poziomie rozszerzonym. W tej sprawie były telefony od Przewodniczących Komisji Powiatowych.
Proszę o pilny kontakt ze mną telefonicznie lub drogą elektroniczną. W przypadku braku opinii termin finału będzie jak wyżej. Proszę o potwierdzenie.

Informuję, że termin finału pozostaje bez zmian (27 listopada), ponieważ otrzymałem tylko 3 zgłoszenia w sprawie zmiany terminu.