topologia na prostej

[Kaya23]

Niech \(\displaystyle{ (\mathbb{R,\tau})}\)- topologia naturalna na prostej. Znaleźć \(\displaystyle{ Y}\) taki że:

\(\displaystyle{ \mathbb{Q} \in \tau_{Y}}\)

Proszę o rozwiązanie.

[Tomasz Tkaczyk]

Co to znaczy \(\displaystyle{ \tau_{Y}}\)?

[Kaya23]

No właśnie....nie wiem.
Dla mnie to jest czarna magia.

[Tomasz Tkaczyk]

Być może \(\displaystyle{ \tau_{Y}}\) jest topologią podprzestrzeni \(\displaystyle{ Y}\).

To jest taka topologia, w której zbiorami otwartymi są zbiory postaci \(\displaystyle{ U \cap Y}\) dla \(\displaystyle{ U \in \tau}\).

Wówczas trzeba znaleźć taki zbiór \(\displaystyle{ Y \subset \mathbb{R}}\), dla którego topologia podprzestrzeni obejmowałaby zbiór liczb wymiernych \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\), jako zbiór otwarty.

Zatem najlepiej przyjąć za \(\displaystyle{ Y = \mathbb{Q}}\).

Wówczas \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) jest zbiorem otwartym w topologii podprzestrzeni \(\displaystyle{ (\mathbb{Q}, \tau_{\mathbb{Q}})}\).