Co to za twierdzenie?

[kamillys]

Witam. Znajomy podał mi twierdzenie, którego nazwy nie pamięta(ani dowodu), ale jest przydatne do liczenia granic i udowadniania. Chciałbym jednak chociaż wiedzieć jak udowodnić je.

Jeżeli \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{ \left|a _{n+1} \right| }{\left|a _{n} \right|}<1}\) to \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} a _{n} = 0}\). Tak samo dla >1, to wtedy granica jest nieokreślona.

[Zordon]

nie wiem czy ma to oficjalną nazwę, ale wynika z kryterium dAlamberta zbieżności szeregu

[kamillys]

Jeśli chodzi o kryterium d'Alemberta, to ono jedynie mówi czy ciąg jest zbieżny czy nie, może ktoś wyjaśnić czemu akurat =0, a nie np. 123?

[Zordon]

zacytuj kryterium dAlamberta, bo wydaje mi się, że mówimy o dwóch różnych rzeczach, te które ja znam, mówi o zbieżnośc szeregu a nie dowolnego ciągu

[Yaco_89]

Jeśli \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{ \left|a _{n+1} \right| }{\left|a _{n} \right|}<1}\) to, jak napisał słusznie Zordon, z kryterium d'Alemberta mamy zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_n}\), a to pociąga za sobą \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a _{n} = 0}\) jako warunek konieczny zbieżności... chyba o to chodzi.

[kamillys]

dzięki Yaco_89. Dzięki za wyjaśnienie.

Zordon: pomieszały mi się szeregi z ciągami. Mimo to dziękuje za pomoc.