Gramica ciągui, czyżby rozbieżny

Duke · Post autor: **Duke** » 5 lis 2009, o 18:22

Witam, rozpatrywałem granice takich ciągów:
\(\displaystyle{ \frac{sin (\frac{1}{n}) }{ \frac{1}{n} }}\)
oraz
\(\displaystyle{ \frac{sin (\frac{1}{n} )}{ \frac{1}{n^{2}} }}\)
Próbowałem użwć twierdzeń stolza, ograniczać jakoś te ciągi, ale za każdym razem nie dochodzę do wyniku.
Np w przypadku tego pierwszego ciągu używając Twierdzenia Stolza, otrzymuję nieskończoność razy 0.
Proszę o rozpatrzenie tych przykładów i opisanie co i jak. Dzięki z góry.

JankoS · Post autor: **JankoS** » 5 lis 2009, o 18:40

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{sinx}{x} =1.}\)

Duke · Post autor: **Duke** » 5 lis 2009, o 21:27

A skąd to wiesz, mógłbyś to jakoś dowieść? Bo ja nie wiem czemu tak jest, ze Stolza bynajmniej to nie idzie.

kamillys · Post autor: **kamillys** » 5 lis 2009, o 21:33

n dąży do 0 czy do \(\displaystyle{ \infty}\)?

Duke · Post autor: **Duke** » 5 lis 2009, o 21:35

\(\displaystyle{ x \rightarrow 0}\)
Po prostu dowieść tego proszę. Bo to byłby koniec, ale nie umiem tego dowieść, tej zależności od sinsusa.-- 5 listopada 2009, 22:17 --Kurczę no, napisałeś coś z kosmosu, nie moge tego tak sobie napisać nie wiedząc DLACZEGO? Podałeś wynik, ale jak do niego dojść jest przecież najważniejsze.

pawels · Post autor: **pawels** » 5 lis 2009, o 22:34

Granica podana przez JankoS pójdzie z trzech ciągów gdy zauważysz ze dla \(\displaystyle{ x\in(0,\frac{\pi}{2})}\) mamy sinx<x<tgx.

Kamillys skoro \(\displaystyle{ n\to\infty}\) to chyba jednak \(\displaystyle{ \frac{1}{n}=x\to 0}\)

JankoS · Post autor: **JankoS** » 5 lis 2009, o 23:31

Duke pisze:\(\displaystyle{ Podałeś wynik, ale jak do niego dojść jest przecież najważniejsze.}\)

Myślałem,że jest to powszechnie znane twierdzenie. Byłem w błędzie. Dowód jest np. tutaj, post napisany przez Kolegę luka52
viewtopic.php?t=24542