Chcę udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest niepustym zbiorem, \(\displaystyle{ B_n\subset X}\), dla \(\displaystyle{ n \in \NN,}\) oraz \(\displaystyle{ B\subset X}\), to:
Problem jest z inkluzją w lewą stronę.
Moja próba:
Jeśli \(\displaystyle{ x\in \bigcap_{n\in \NN} (B_n \cap B)}\), to \(\displaystyle{ x \in B_n\cap B}\), dla każdego \(\displaystyle{ n\in \NN.}\)
I taki śmieszny problem tutaj powstaje : Jak uzasadnić poprawnie, że: \(\displaystyle{ x\in B}\) -widzę, że zbiór \(\displaystyle{ B}\) nie zależy od numeru \(\displaystyle{ n}\), ale nie wiem jak poprawnie ten dowód należałoby przeprowadzić...
Może tak: Gdyby \(\displaystyle{ x\not\in B}\), to \(\displaystyle{ x\not\in B_0\cap B}\) i \(\displaystyle{ x\not\in \bigcap_{n\in \NN} (B_n \cap B)}\) -sprzeczność. Dobrze???
Drugi warunek jest prosty:
Ukryta treść:
Skoro \(\displaystyle{ x \in B_n\cap B}\), dla każdego \(\displaystyle{ n\in \NN,}\) to jak weźmiemy \(\displaystyle{ n\in \NN}\), to \(\displaystyle{ x\in B_n\cap B}\), a stąd \(\displaystyle{ x\in B_n,}\) i wobec dowolności wyboru \(\displaystyle{ n}\) : \(\displaystyle{ x\in \bigcap_{n\in\NN} B_n. }\)
Jakub Gurak pisze: 26 kwie 2026, o 18:26
I taki śmieszny problem tutaj powstaje : Jak uzasadnić poprawnie, że: \(\displaystyle{ x\in B}\) -widzę, że zbiór \(\displaystyle{ B}\) nie zależy od numeru \(\displaystyle{ n}\), ale nie wiem jak poprawnie ten dowód należałoby przeprowadzić...
Może tak: Gdyby \(\displaystyle{ x\not\in B}\), to \(\displaystyle{ x\not\in B_0\cap B}\) i \(\displaystyle{ x\not\in \bigcap_{n\in \NN} (B_n \cap B)}\) -sprzeczność. Dobrze???
Może być, ale po co nie wprost?
Skoro \(\displaystyle{ x\in \bigcap_{n\in \NN} (B_n \cap B)}\), to w szczególności \(\displaystyle{ x\in B_0\cap B}\), zatem \(\displaystyle{ x\in B.}\)
