Styczne do wykresu wielomianu

[a4karo]

Dany jest wielomian stopnia \(\displaystyle{ n}\). Pokazać, że przez żaden punkt płaszczyzny nie może przechodzić więcej niż \(\displaystyle{ n}\) różnych stycznych do wykresu tego wielomianu.

[azanus111]

Żeby nie było ja to zadanie zrobię dla konkretnego przykładu bo sposób ogólny jest już taki sam a szczególny jest ładniejszy...

weźmy bardzo konkretną parabolę:

\(\displaystyle{ f(x)=x^2}\)

napiszmy za pomocą wzoru wzór na styczną do tej paraboli: \(\displaystyle{ (a , f(a))}\) - punkt styczności

\(\displaystyle{ y=f(a)+f'(a)(x-a)}\) - równanie ogólne można teraz uszczególnić dla naszej paraboli:

\(\displaystyle{ y=a^2+2a(x-a)}\)

teraz uszczególnimy punkt dowolny \(\displaystyle{ (x , y) \rightarrow (x_{0} , y_{0})}\) - na punkt konkretny i dostaniemy:

po uporządkowaniu:

\(\displaystyle{ a^2-2x_{0}a+y_{0}=0}\)

i obliczamy deltę:

\(\displaystyle{ \Delta= \sqrt{4x_{0}^2-4y_{0}} }\)

jak widać, ilość rozwiązań tego równania przy dowolnie wybranym punkcie na płaszczyźnie: \(\displaystyle{ (x_{0} , y_{0})}\)

jest:

\(\displaystyle{ \le 2 }\)

tak samo wyjdzie jeżeli wezmę dowolną parabolę a nie szczególną a jeżeli wezmę dowolny wielomian działa to bardzo podobnie...Dotarło???

[a4karo]

Właśnie tego "bardzo podobnie" brakuje.
Dla wielomianów wyższych stopni też wyroznik będziesz liczył?

Miałeś chyba paskudnych nauczycieli, skoro rozumienie kończysz tekstem "dotarło?" . Niektórzy tak robią, gdy nie mają argumentów, ale za to mają baseballa

[azanus111]

Dla wielomianów wyższych stopni też wyroznik będziesz liczył?

Nigdy nie wyciągaj wniosków po pozorach tak mnie uczyli... A Bruca Lee nie oceniaj po jego niskim wzroście...I tak samo nie radzę oceniać wielomianów po ich stopniach...

Musashi Miyamoto pewnego razu przerwał pojedynek przed jego rozpoczęciem, wszyscy myśleli, że stchórzył, tylko sędzia
znał prawdę i przyznał mu zwycięstwo... i kazał przeciwnikowi podziękować Musashiemu za uratowanie życia...

Do wielomianów stopnia n rozumowanie jest identyczne, a stopień analogicznego wielomianu wynosi n...

Więc taki wielomian może mieć co najwyżej n rozwiązań... No szkoda, że muszę tłumaczyć kawał ale wtedy staje się mało śmieszny... I przez to dla innych zostają ochłapy... Miało być dydaktycznie a nie wyszło nawet komicznie...

Miałeś chyba paskudnych nauczycieli, skoro rozumienie kończysz tekstem "dotarło?" . Niektórzy tak robią, gdy nie mają argumentów, ale za to mają baseballa

- masz może na myśli premiera???

[Dasio11]

Bez straty ogólności rozważanym punktem jest \(\displaystyle{ (0, 0)}\). Jeśli styczna do wykresu funkcji wielomianowej \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ a}\) przechodzi przez \(\displaystyle{ (0, 0)}\), to \(\displaystyle{ f(a) = a f'(a)}\). W istocie, taka prosta przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ (0, 0)}\) i \(\displaystyle{ (a, f(a))}\) oraz jej współczynnikiem kierunkowym jest \(\displaystyle{ f'(a)}\), a stąd \(\displaystyle{ f(a) - 0 = f'(a) \cdot (a-0)}\).

Gdyby istniało więcej niż \(\displaystyle{ n}\) takich stycznych, to punktów styczności jak wyżej - a zatem i rozwiązań równania \(\displaystyle{ f(x) = xf'(x)}\) - również byłoby więcej niż \(\displaystyle{ n}\). Równanie zaś jest równością funkcji wielomianowych stopnia najwyżej \(\displaystyle{ n}\), zatem oznaczałoby to że \(\displaystyle{ f(x) \equiv x f'(x)}\). Stąd \(\displaystyle{ f(x) \equiv Ax}\), a taka funkcja ma stopień \(\displaystyle{ 1}\) i jedną styczną.