x i y

[mol_ksiazkowy]

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb całkowitych : \(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{ \sqrt{xy-1} } }\).

[kerajs]

W równaniu:
- żadna z niewiadomych nie może być zerem (istnienie ułamków)
- niewiadome nie mogą być różnych znaków (istnienie pierwiastka)
- obie niewiadome nie mogą być ujemne (bo różne strony równania nie mogą mieć różnych znaków)
- x i y nie mogą równocześnie przyjąć wartość \(\displaystyle{ 1}\) (istnienie pierwiastka)
więc \(\displaystyle{ D: \ x, y \in \NN_+ \setminus \left\{ 1,1\right\} }\)

Przekształcam równanie do:
\(\displaystyle{ xy=(x+y) \sqrt{xy-1} }\)
Skoro \(\displaystyle{ xy \in \NN_+ }\) i \(\displaystyle{ x+y \in \NN_+ }\) to i \(\displaystyle{ { \sqrt{xy-1} } \in \NN_+ }\) .
\(\displaystyle{ xy-1+1=(x+y) \sqrt{xy-1} \\
( \sqrt{xy-1})^2-(x+y) \sqrt{xy-1} +1=0\\
\Delta=(x+y)^2-4}\)
Aby spełniające warunek \(\displaystyle{ x+y= \pm 2}\) nie należą do dziedziny miał szansę być dodatnią liczbą naturalną to \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}}\) musi być naturalny. Jedyne dwa kwadraty różniące się o \(\displaystyle{ 4}\) to: 4 i 0, więc \(\displaystyle{ x+y= \pm 2}\), Pary spełniające warunek \(\displaystyle{ x+y= \pm 2}\) nie należą do dziedziny, więc równanie nie ma rozwiązania w liczbach całkowitych.

PS Fakt istnienia par spełniających warunek \(\displaystyle{ x+y= \pm 2}\) i należących do dziedziny, nie oznaczałby automatycznie istnienia rozwiązań. Należałoby sprawdzić, czy dla nich \(\displaystyle{ { \sqrt{xy-1} } }\) jest naturalne, oraz czy równanie nie jest sprzeczne.

PPS
Pewnie jest elegancki i szybszy sposób wykazania braku rozwiązań.

[azanus111]

To nie jest prawdą bo to najelegantszy sposób

[JHN]

Dane równanie, dla \(x,\ y\in\mathbb{Z}_+\setminus\{1\}\) (co uzasadnił kerajs), jest równoważne
\[\frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = 2 \sqrt{xy-1}. \]
Wobec nierówności pomiędzy średnimi geometryczną i harmoniczną mamy
\[\sqrt{xy}\ge 2\sqrt{xy-1}\\
\ldots\\
xy\le\frac{4}{3},\]
a ta nierówność nie ma rozwiązania dla zadanych \(x,\ y\).

Pozdrawiam

[azanus111]

To jest cudne...

[kerajs]

Przepraszam, lecz nie wiem dlaczego wyświetliło:

Aby spełniające warunek \(\displaystyle{ x+y= \pm 2}\) nie należą do dziedziny miał szansę być dodatnią liczbą naturalną to \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}}\) musi być naturalny. Jedyne dwa kwadraty różniące się o \(\displaystyle{ 4}\) to: 4 i 0, więc \(\displaystyle{ x+y= \pm 2}\), Pary spełniające warunek \(\displaystyle{ x+y= \pm 2}\) nie należą do dziedziny, więc równanie nie ma rozwiązania w liczbach całkowitych.

zamiast:
Aby \(\displaystyle{ \sqrt{xy-1} }\) miał szansę być dodatnią liczbą naturalną to \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}}\) musi być naturalny. Jedyne dwa kwadraty różniące się o \(\displaystyle{ 4}\) to: 4 i 0, więc \(\displaystyle{ x+y= \pm 2}\), Pary spełniające warunek \(\displaystyle{ x+y= \pm 2}\) nie należą do dziedziny, więc równanie nie ma rozwiązania w liczbach całkowitych.


Dorzucę inne rozwiązanie:
Zakładam że \(\displaystyle{ xy=(x+y) \sqrt{xy-1} }\) ma rozwiązanie, więc musi istnieć naturalne \(\displaystyle{ n}\), dla którego \(\displaystyle{ \frac{xy}{n} }\) też jest naturalne, oraz zachodzi układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} n=\sqrt{xy-1} \\ \frac{xy}{n} =x+y \end{cases} \\
\begin{cases} xy=n^2+1 \\ n+ \frac{1}{n} =x+y \end{cases} }\)
Jedyna liczba, dla której lewa strona drugiego równania jest naturalna, to \(\displaystyle{ n=1}\) . Jednak wtedy układ \(\displaystyle{ \begin{cases} 1=\sqrt{xy-1} \\ xy =x+y \end{cases} }\) nie ma rozwiązania w dodatnich liczbach naturalnych, więc i pierwotne równanie nie ma rozwiązania w takich liczbach.

[a4karo]

Jeżeli \(\displaystyle{ x>y}\) to
\(\displaystyle{ \sqrt{xy-1}\ge\sqrt{(x-1)y}\ge\sqrt{y^2}=y}\)
i wtedy
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{xy-1}}\le \frac{1}{y}<\frac{1}{y}+\frac{1}{x}}\).
A dla \(\displaystyle{ x=y}\) równanie
\(\displaystyle{ \frac{2}{x}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}}\)
nie ma rozwiązania w liczbach naturalnych