Silnik o mocy

[max123321]

Silnik o mocy \(\displaystyle{ P_1}\) napędza pompę, która przepompowuje przez poziomą rurę pewną masę wody \(\displaystyle{ m}\). Jaka powinna być moc silnika \(\displaystyle{ P_2}\), aby pompa w tym samym czasie przepompowała dwa razy większą ilość wody.

Jak to rozwiązać?

[siwymech]

Propozycja rozwikłania zagadnienia

Moc pompy \(\displaystyle{ P}\) jest wprost proporcjonalna do trzeciej potęgi prędkośći obrotowej \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ \frac{P _{1} }{P _{2} }=\left( \frac{n _{1} ^{3} }{n ^{3} _{2} } \right)}\), (1), stąd moc po dwukrotnym zwiększeniu prędkości obrotowej \(\displaystyle{ n _{2} =2n _{1} }\), jest równa
\(\displaystyle{ P _{2}=P _{1}\left( \frac{2n _{1} }{n _{1} } \right) ^{3} =8P _{1} }\)

/Wydatek-wydajność \(\displaystyle{ Q \quad m ^{3}/s }\) pompy zależy m. innymi od prędkości obrotowej silnika napędzającego pompę/

[max123321]

No dobrze, ale skąd wiemy, że moc pompy jest wprost proporcjonalna do trzeciej potęgi prędkości obrotowej? Tutaj nic nie jest powiedziane na ten temat.

[siwymech]

Z teorii maszyn przepływowych tkzw. podobieństwo dynamiczne przepływu.

[max123321]

To aż taka zaawansowana teoria jest do tego potrzebna? To jest zadanie ze szkoły średniej, więc rozwiązanie powinno być w miarę elementarne. A możesz jakoś wyprowadzić ten wzór z trzecimi potęgami? Nie wiem skąd to się bierze.

[siwymech]

Rozumiem Twoje zafrasowanie. To była propozycja rozwiązania jak zaznaczyłem w pierwszym zdaniu.
Ciekawy jestem, jaka jest odpowiedz do tego zadania.

[max123321]

Odpowiedź jest prawidłowa to znaczy \(\displaystyle{ P_2=8P_1}\), ale jak można dojść do tego rozwiązania?

[AiDi]

No dobrze, ale skąd wiemy, że moc pompy jest wprost proporcjonalna do trzeciej potęgi prędkości obrotowej?

Z analizy wymiarowej. Wat to \(\displaystyle{ \frac{kg\cdot m^2}{s^3}}\), więc jeśli prędkość obrotowa jest jedyną istotną wielkością, która zawiera w swojej jednostce sekundę, to moc musi być proporcjonalna do jej trzeciej potęgi.

Skąd to zadanie pochodzi?

[mol_ksiazkowy]

A skąd wiemy, że coś wiruje ? czy pompa nie może tłoczyć bądź też wykonywać inne rzeczy....?

[AiDi]

Może, i wykonuje to z pewną częstotliwością. Moc jest proporcjonalna do trzeciej potęgi tej częstotliwości.

[max123321]

Ok, AiDi racja, to ma sens. W sumie to z tej pompy niewiele nas interesuje poza częstotliwością jej działania i nic poza tym nie musimy wiedzieć. Jednak zastanawia mnie inna rzecz.

Bo z tego wynika, że z tych jednostek zachodzi wzór \(\displaystyle{ P=M \cdot S^2 \cdot T^3}\), gdzie \(\displaystyle{ M}\)-masa, \(\displaystyle{ S}\)-odległość i \(\displaystyle{ T}\)-częstotliwość. To zadanie w zasadzie sprowadza się do tego, co się stanie jeśli dwukrotnie zwiększymy częstotliwość i oczywiście wtedy moc zwiększy się \(\displaystyle{ 8}\)-krotnie.

Natomiast jak sformułować należałoby pytanie do tego zadania, gdybyśmy nie zwiększali częstotliwości dwukrotnie, a po prostu masę byśmy zwiększyli dwukrotnie i czy to ma sens? Innymi słowy, czy pytanie o to jaka by była moc, gdybyśmy masę zwiększyli dwukrotnie ma sens albo ewentualnie jak trzeba by było wtedy sformułować to pytanie. No bo moc jest przecież proporcjonalna do masy.

[AiDi]

Masę czego?

[max123321]

Masę wody, którą przepompowuje pompa.

[AiDi]

Od całkowitej masy nie zależy, bo moc jest wielkością chwilową (to pochodna, a nie całka). Raczej od ciężaru płynu przepompowanego w jednostce czasu - przynajmniej tak to rozumiem po małym "riserczu" w googlu. Ale tu też czas pojawia się w trzeciej potędze.

Znalazłem wzór na moc pompy, ale zupełnie nie uwzględnia on mechanizmów wewnętrznych tejże. Ja się na takich praktycznych rzeczach nie znam, więc wracam do pytania które już zadałem - skąd pochodzi to zadanie?

[max123321]

To zadanie jest z książki "Zbiór zadań z fizyki" autorstwa m.in Kruczka. do szkoły średniej. Taka niebieska książeczka. Przeznaczona dla uczniów liceów oraz kandydatów na studia. Także raczej nie powinna tu być potrzebna jakaś wiedza o konstrukcji pomp.