Czy liczba jest różnicą kwadratów liczb całkowitych ?

[alexandra]

Czy podana liczba jest różnicą kwadratów dwóch liczb całkowitych dodatnich
a) 1000
b) 1001
c) 1002
d) 1003 ?

[Tristan]

a) \(\displaystyle{ a^2-b^2=1000}\)
\(\displaystyle{ (a-b)(a+b)=1000}\)
Liczbę 1000 możemy przedstawić w postaci \(\displaystyle{ 1000=2 \cdot 500}\), a w tym wypadku \(\displaystyle{ a-b=2\land a+b=500}\), czyli \(\displaystyle{ a=251 \land b=249}\).
Czyli odpowiedź jest pozytywna, bo \(\displaystyle{ 251^2 -249^2=63001-62001=1000}\).
b) W tej sam sposób co w przykładzie a) zauważ, że \(\displaystyle{ 1001=11 \cdot 91}\). Wyliczysz, że \(\displaystyle{ 51^2 - 40^2=1001}\)
c) Zauważmy, że przy rozwiązywania układu równań w przykładzie a) można było dodać stronami otrzymując, że \(\displaystyle{ 2a=502}\), czyli liczba \(\displaystyle{ 2a}\) musi być parzysta.
Liczbę 1002 można przedstawić w postaci \(\displaystyle{ 1 1002= 2 \cdot 501=6 167}\). To jedyne rozkłady tej liczby ( w liczbach naturalnych, of course ). Liczby w rozkładzie nie są tej samej parzystości, więc po dodaniu ich otrzymamy liczbę nieparzystą, a ponieważ liczba \(\displaystyle{ 2a}\) ma być parzysta, więc liczby 1002 nie można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch liczby naturalnych.
d) Ponieważ \(\displaystyle{ 1003=1\cdot 1003}\), więc już widzimy, że dana liczba spełni warunek zadania, bo liczby 1 i 1003 są tej samej parzystości ( ponieważ są nieparzyste oczywiście). Można oczywiście wyliczyć, że \(\displaystyle{ a-b=1 \land a+b=1003}\), więc \(\displaystyle{ a=502 \land b=501}\).

[mol_ksiazkowy]

Różnicą kwadratów dwóch liczb całkowitych nie są jedynie liczby w formie \(\displaystyle{ 4k+2 }\)...

[Brombal]

Czyli każdą nieparzystą liczbę pierwszą można przedstawić w postaci różnicy kwadratów liczb \(\displaystyle{ \frac{p+1}{4} }\) oraz \(\displaystyle{ \frac{p-1}{4} }\)

[mol_ksiazkowy]

o ile sładniki są wymierne np. \(\displaystyle{ p=2 = (\frac{3}{2} )^2 - (\frac{1}{2} )^2 }\) itd...