miejsca zerowe pochodnej

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ f:\RR\to\RR}\) będzie funkcją okresową, różniczkowalna w całym zbiorze \(\displaystyle{ \RR}\). Wykaż, że zbiór \(\displaystyle{ \{x: f'(x)=0\}}\) nie jest ograniczony, oraz wskaz, ze oba załozenia sa istotne...

[mol_ksiazkowy]

oraz wskaz, ze oba załozenia sa istotne...

Bez założenia okresowości, to jest duża dowolność, np. \(\displaystyle{ f}\) może być wielomianem...

[kitsu-ne]

Funkcja "odległość od najbliższej liczby całkowitej" jest okresowa, ale nie różniczkowalna i zbiór, o który pytasz, jest dla niej pusty, a więc ograniczony.

[Lorek]

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ f}\) spełnia założenia zadania i \(\displaystyle{ T>0}\) będzie jej okresem. Wtedy dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{Z}}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(nT)=f((n+1)T)}\) . Zatem \(\displaystyle{ f}\) spełnia założenia tw. Rolle'a na przedziale \(\displaystyle{ \left[nT,(n+1)T\right]}\), stąd istnieje \(\displaystyle{ c_n\in\left(nT,(n+1)T\right)}\) takie, że \(\displaystyle{ f'(c_n)=0}\).