Liczba ustawień figur w szachach Fishera.

[Mathix]

Cześć mam następujący problem, nie rozumiem w którym miejscu popełniam błąd jak chcę obliczyć liczbę dopuszczalnych ustawień figur w szachach Fishera (w jednej linii na ośmiu polach), przy następujących warunkach:
- Król musi znajdować się pomiędzy wieżami
- Dwa gońce muszą się znajdować na polach o przeciwnych kolorach.

Myślałem o tym w następujący sposób:

1. Szukam liczby ustawień króla i dwóch wież. Skoro pól do ustawienia szachów mam 8, to liczba takich ustawień to będzie \(\displaystyle{ C^3_8}\), bo każda kombinacja pól wyznacza ustawienie figur na tych polach (Wieża, Król, Wieża)

2. Pozostaje mi 5 pól do wypełnienia, wiem, że spośród tych 5 pól, 3 są jednego koloru i 2 dwa innego koloru. Zatem mogę ustawić jednego gońca na 3 sposoby, a drugiego na 2.

3. Potem pozostają mi 3 pola na które mogę dowolnie ustawić hetmana

4. Pozostają mi dwa pola na skoczki, które po prostu ustawiam na jeden sposób.

Finalna liczba kombinacji wynosi zatem według takiej logiki: \(\displaystyle{ C^3_8 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 = 1008}\)
Poprawną liczbą kombinacji jest 960, gdzie jest błąd w moim rozumowaniu?

[Janusz Tracz]

Imho błąd jest już w tym stwierdzeniu

1. Szukam liczby ustawień króla i dwóch wież. Skoro pól do ustawienia szachów mam 8, to liczba takich ustawień to będzie \(\displaystyle{ C^3_8}\), bo każda kombinacja pól wyznacza ustawienie figur na tych polach (Wieża, Król, Wieża)

Potem propaguje się na resztę rozumowania doprowadzając przykładowo w drugim punkcie do dziwnej sytuacji z gońcami. Po pierwsze wybór \(\displaystyle{ 3}\) miejsc nie gwarantuje Ci, że ustawisz tam figury w dobrej kolejności (Wieża, Król, Wieża). Może być źle (Król, Wieża, Wieża), a dokładniej to nie może tak być. To trzeba wykluczyć. Poza tym sytuacja (Wieża 1 , Król, Wieża 2) jest taka sama jak (Wieża 2 , Król, Wieża 1).

Można to policzyć inaczej. Gońce są nieistotne i można na początku o nich zapomnieć. To znaczy myślimy o szachach \(\displaystyle{ 6 \times 6}\) bez gońców.

W takich szachach mamy \(\displaystyle{ 4}\) możliwe pozycje króla (tak aby zawsze było miejsce po lewej i prawej stronie na wieżę). Jednak w każdej z tych sytuacji liczna możliwości ustawienia wież jest inna dlatego rozważamy je osobno i ostatecznie sumujemy:

\(\displaystyle{ {1 \choose 1} {4 \choose 1}+ {2 \choose 1} {3 \choose 1} + {3 \choose 1} {2 \choose 1} + {4 \choose 1} {1 \choose 1}.}\)

Zostało w pozostałe \(\displaystyle{ 3}\) miejsca wcisnąć konie i królową. Można to zrobić na \(\displaystyle{ 3!/2!}\). Bo konie są identyczne. Zatem możliwości jest

\(\displaystyle{ \left( {1 \choose 1} {4 \choose 1}+ {2 \choose 1} {3 \choose 1} + {3 \choose 1} {2 \choose 1} + {4 \choose 1} {1 \choose 1}\right) \frac{3!}{2!}. }\)

Na koniec przypominamy sobie o gońcach. Można je było ustawić w dowolny sposób już na samym początku. Tylko tak by stały na różnych kolorach. Ostatecznie mamy więc

\(\displaystyle{ {4 \choose 1} {4 \choose 1} \left( {1 \choose 1} {4 \choose 1}+ {2 \choose 1} {3 \choose 1} + {3 \choose 1} {2 \choose 1} + {4 \choose 1} {1 \choose 1}\right) \frac{3!}{2!} }\)

możliwych ustawień. Nie twierdzę, że to jedyne rozwiązanie, ale to zdaje się dość proste.

[Saref]

Imho błąd jest już w tym stwierdzeniu

1. Szukam liczby ustawień króla i dwóch wież. Skoro pól do ustawienia szachów mam 8, to liczba takich ustawień to będzie \(\displaystyle{ C^3_8}\), bo każda kombinacja pól wyznacza ustawienie figur na tych polach (Wieża, Król, Wieża)

Nie wydaje mi się. Szukasz ile jest kombinacji 3 miejsc z puli 8 pól. W każdej takiej kombinacji masz tylko jedno możliwe miejsce gdzie może wejść król więc liczba 56 się moim zdaniem zgadza.

Imo błąd jest w tym stwierdzeniu

2. Pozostaje mi 5 pól do wypełnienia, wiem, że spośród tych 5 pól, 3 są jednego koloru i 2 dwa innego koloru. Zatem mogę ustawić jednego gońca na 3 sposoby, a drugiego na 2.

Bo ma się sytuację, że król i dwie wieże zajmują pola o tym samym kolorze. Wtedy zamiast 3 rozmieszczeń jednego koloru i 2 dwóch drugiego mamy tylko 1 możliwą pozycję jednego gońca i 4 drugiego.

Czyli jak normalnie mamy 6 różnych kombinacji jak mogą się rozmieścić gońce, w sytuacji gdzie król i wieże znajdują się na polu o tym samym kolorze liczba kombinacji spada do 4.

Możemy więc obliczyć ile razy występuje taka kombinacja (król i wieża znajduje się na polu o tym samym kolorze). Dla jednego koloru jest to

\(\displaystyle{ C^3_4 = 4 }\) a jako, że mamy dwa kolory to liczbę możliwości mnożymy razy 2 czyli takich sytuacji kiedy król i wieże znajdują się na jednym kolorze mamy 8.

Czyli normalnie mnożylibyśmy \(\displaystyle{ 56 \cdot 3 \cdot 2 }\) i to nam daje 336, ale jako, że wiemy, że w 8 przypadkach liczba kombinacji gońców spada z 6 do 4 to mamy sytuacje, w której musimy odjąć "nadmiarowe" kombinacje, które według zasad nie są możliwe.

\(\displaystyle{ 56 \cdot 3 \cdot 2 -((6-4) \cdot 8) = 320 }\)

Potem już z górki tak jak było napisane w poście:

Trzy sytuacje jak możemy rozmieścić hetmana i pozostają dwa pola na skoczki, które można umieścić tylko w jeden sposób:

\(\displaystyle{ 320 \cdot 3 \cdot 1 = 960 }\)

Oczywiście można to prościej zrobić i uniknąć pułapki z gońcami i od nich zacząć, ale jeśli kolega chciał zacząć od króli i wież to tak też jest możliwe to obliczyć. Jest późno i mogłem gdzieś popełnić błąd, ale wydaje mi się, że to rozwiązanie jest poprawne.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ 320 \cdot 3 \cdot 1 = 960 }\)

Oczywiście można to prościej zrobić i uniknąć pułapki z gońcami i od nich zacząć, ale jeśli kolega chciał zacząć od króli i wież to tak też jest możliwe to obliczyć. Jest późno i mogłem gdzieś popełnić błąd, ale wydaje mi się, że to rozwiązanie jest poprawne.

Poprawne - inna nazwa to szachów Fishera to szachy 960, właśnie od liczby możliwych początkowych ustawień.

JK

[Mathix]

Dziękuję za odpowiedzi, faktycznie z jakiegoś powodu przyjąłem błędne założenie o tym, że (Król, Wieża, Król) nie mogą być na polach tego samego koloru. Teraz wszystko jasne:)

[mol_ksiazkowy]

Fishera, Fiszera czy Fischera