Dla jakich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x}\) spośród:
\(\displaystyle{ x- \sqrt{2} , \ x - \frac{1}{x} , \ x + \frac{1}{x}, \ x+ \sqrt{2} }\)
trzy są całkowite ?
Trójka liczb
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13376
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3425 razy
- Pomógł: 809 razy
-
zr3456
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 29 lis 2015, o 23:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jasło
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Trójka liczb
Mam prośbę,postaraj się pisać,w miarę poprawnie, w polskim języku.Wrzucasz ciekawe zadania ale nie chce się ich rozwiązywać jak się je czyta w "polska języka matematyka".
-
arek1357
Re: Trójka liczb
Poruszyłeś w sumie ciekawy i prawdziwy problem, ale on nie tyczy stricte Mola ale większości matematyków na tym forum(zaznaczam większości lecz nie wszystkich oczywiście ja sie do tej grupy nie zaliczam) wystarczy popatrzeć na komentarze , wypowiedzi i przemyślenia lub ich braku. Są to przeważnie zdania na poziomie pomrukiwań, chrząknięć, lub zlepku słów wyrwanych z kontekstu, dlatego o tym piszę bo post ten ma szersze konotacje niż zamiary samego autora...
-
Peter_85
- Użytkownik
- Posty: 59
- Rejestracja: 14 sie 2010, o 12:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 4 razy
Re: Trójka liczb
Taka liczba \(\displaystyle{ x}\) nie istnieje.
Dowód:
Zauważmy, że do takiej trójki nie mogą należeć jednocześnie liczby \(\displaystyle{ x-\sqrt{2}}\) i \(\displaystyle{ x+\sqrt{2}}\). Gdyby liczba \(\displaystyle{ x-\sqrt{2}}\) była całkowita, to liczba \(\displaystyle{ x}\) musiałaby być niewymierna. Skoro jednak obie liczby \(\displaystyle{ x-\sqrt{2}}\) i \(\displaystyle{ x+\sqrt{2}}\) mają być całkowite, to i ich suma równa \(\displaystyle{ 2x}\) musi być całkowita, a więc wymierna, a to niemożliwe, bo już wiemy, że \(\displaystyle{ x}\) jest niewymierna - sprzeczność.
Pozostają do rozpatrzenia trójki postaci \(\displaystyle{ \left( x-\sqrt{2}, x-\frac{1}{x}, x+\frac{1}{x}\right)}\) i \(\displaystyle{ \left(x+\sqrt{2}, x-\frac{1}{x}, x+\frac{1}{x}\right) }\).
Dla pierwszej z nich jak poprzednio: żeby \(\displaystyle{ x-\sqrt{2}}\) była całkowita, \(\displaystyle{ x}\) musi być niewymierna. Ponieważ \(\displaystyle{ x-\frac{1}{x}}\) i \(\displaystyle{ x+\frac{1}{x}}\) też muszą być całkowite, to i ich suma równa \(\displaystyle{ 2x}\) musi taka być, co znów jest niemożliwe, bo \(\displaystyle{ x}\) jest niewymierna.
Rozumowanie dla drugiej trójki jest identyczne - zakładamy, że \(\displaystyle{ x+\sqrt{2}}\) jest całkowita, co prowadzi do takiej samej sprzeczności jak poprzednio i kończy dowód.
Dowód:
Zauważmy, że do takiej trójki nie mogą należeć jednocześnie liczby \(\displaystyle{ x-\sqrt{2}}\) i \(\displaystyle{ x+\sqrt{2}}\). Gdyby liczba \(\displaystyle{ x-\sqrt{2}}\) była całkowita, to liczba \(\displaystyle{ x}\) musiałaby być niewymierna. Skoro jednak obie liczby \(\displaystyle{ x-\sqrt{2}}\) i \(\displaystyle{ x+\sqrt{2}}\) mają być całkowite, to i ich suma równa \(\displaystyle{ 2x}\) musi być całkowita, a więc wymierna, a to niemożliwe, bo już wiemy, że \(\displaystyle{ x}\) jest niewymierna - sprzeczność.
Pozostają do rozpatrzenia trójki postaci \(\displaystyle{ \left( x-\sqrt{2}, x-\frac{1}{x}, x+\frac{1}{x}\right)}\) i \(\displaystyle{ \left(x+\sqrt{2}, x-\frac{1}{x}, x+\frac{1}{x}\right) }\).
Dla pierwszej z nich jak poprzednio: żeby \(\displaystyle{ x-\sqrt{2}}\) była całkowita, \(\displaystyle{ x}\) musi być niewymierna. Ponieważ \(\displaystyle{ x-\frac{1}{x}}\) i \(\displaystyle{ x+\frac{1}{x}}\) też muszą być całkowite, to i ich suma równa \(\displaystyle{ 2x}\) musi taka być, co znów jest niemożliwe, bo \(\displaystyle{ x}\) jest niewymierna.
Rozumowanie dla drugiej trójki jest identyczne - zakładamy, że \(\displaystyle{ x+\sqrt{2}}\) jest całkowita, co prowadzi do takiej samej sprzeczności jak poprzednio i kończy dowód.