[MIX][Planimetria] Geometria z Pawłowskiego

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
Manolin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 29 sty 2009, o 17:59
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1 raz

[MIX][Planimetria] Geometria z Pawłowskiego

Post autor: Manolin » 2 lis 2009, o 21:15

Witam
Mam problem z kilkoma zadaniami:
Zad 1
Na płaszczyżnie dane są dwa okręgi \(\displaystyle{ C _{1}}\) i \(\displaystyle{ C _{2}}\) przecinające się w punktach A i B i styczne do prostej w punktach odpowiednio \(\displaystyle{ P _{1}}\) i \(\displaystyle{ P _{2}}\)
Rzutami punktów \(\displaystyle{ P _{1}}\) i \(\displaystyle{ P _{2}}\) na linię środków tych okręgów są odpowiednio punkty \(\displaystyle{ M _{1}}\) i \(\displaystyle{ M _{2}}\) .Prosta \(\displaystyle{ AM _{1}}\) przecina okrąg \(\displaystyle{ C _{1}}\) jeszcze w punkcie \(\displaystyle{ N _{1}}\), a prosta \(\displaystyle{ AM _{2}}\) przcina okrąg \(\displaystyle{ C _{2}}\) jeszcze w punkcie \(\displaystyle{ N _{2}}\). Udowodnij że punkty \(\displaystyle{ N _{1}}\) , \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ N _{2}}\) leżą na jednej prostej
Zad 2
Na płaszczyżnie dane są dwa okręgi przecinające się w punktach A i B i styczne do prostej w punktach odpowiednio \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\). Styczne do okręgu opisanego na trójkącie APQ w punktach odpowiednio P i Q przecinają się w punkcie S. Niech H będzie obrazem punktu B w symetrii względem prostej PQ . Udowodnij , że punkty A , S ,H leżą na jednej prostej
Zad 3
W trójkącie ABC dwusieczna kąta BAC przecina bok BC w punkcie D. Okrąg S styczny do BC w punkcie D i przechodzący przez punkt A przecina AC jeszcze w punkcie M .Udowodnij, że punkt P , w którym okrąg S przecina raz jeszcze prostą BM , leży na środkowej trójkąta ABD
Zad 4
W czworokącie ABCD wpisanym w okrąg środkami przekątnych AC i BD są odpowiednio punkty L i N . Udowodnij , że jeśli BD jest dwusieczną kąta ANC , to AC jest dwusieczną kąta BLD
Zad 5
Wewnątrz trójkąta ostrokątnego ABC obrano taki punkt D , żę
\(\displaystyle{ DA \cdot DB \cdot AB+ DB \cdot DC \cdot BC+DC \cdot DA \cdot CA=AB \cdot BC \cdot CA}\)
Znajdż miejsce geometryczne punktów D
Zad 6
Punkt B należy do odcinka AC , a punkt D do odcinka AE. Proste CD i BE przecinają się w punkcie F. Udowodnij że jeśli AB+BF=AD+DF
to AC+CF=AE+EF
Zad 7
Dwa okręgi \(\displaystyle{ C _{1}}\) i \(\displaystyle{ C _{2}}\) przecinają się w punktach A i B . Okrąg O , styczny do nich w punktach D i E , leży wewnątrz ich części wspólnej. Niech C będzie jednym z punktów w którym prosta AB przecina okrąg O. Niech F będzie punktem w któym prosta EC przecina okrąg \(\displaystyle{ C _{2}}\) i niech G będzie punktem w którym prosta DC przecina okrąg \(\displaystyle{ C _{1}}\). NIech punkty H i I będą punktami w których prosta ED przecina okręgi \(\displaystyle{ C _{1}}\) i \(\displaystyle{ C _{2}}\). Udowodnij że punkty F,G,H,I leżą na jednym okręgu.

binaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 547
Rejestracja: 20 lis 2007, o 15:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bielsko-Biała
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 120 razy

[MIX][Planimetria] Geometria z Pawłowskiego

Post autor: binaj » 3 lis 2009, o 00:59

zad. 1. http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p=788932#788932

zad. 2. http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p=268361#p268361

zad. 3.

Niech N będzie punktem przecięcia się okręgu S z prostą AB, a T prostej AD z prostą BM, zauważmy, że trójkąty BPN i BAM są podobne
Niech \(\displaystyle{ \sphericalangle BAC = \alpha \Rightarrow BPN = \alpha, \sphericalangle DPM= \sphericalangle DAM= \frac{1}{2} \alpha}\) przedłużmy DP do przecięcia się z AB w punkcie Q, wówczas PQ jest dwusieczną kąta BPN (z wcześniejszego rachunku na katach), teraz z podobieństwa

BPN i BAM i tw. o dwusiecznej: \(\displaystyle{ \frac{BQ}{QN}= \frac{BP}{PN}= \frac{BA}{AM}= \frac{BT}
{TM}}\)


z tw. odwrotnego do Talesa, mamy, że \(\displaystyle{ QT||NM}\)

ale z potęgi punktów B i C względem okręgu S i tw. o dwusiecznej:
\(\displaystyle{ \frac{BN \cdot BA}{CM \cdot CA}= \frac{BD^2}{CD^2} = \frac{BA^2}{CA^2}}\)

czyli: \(\displaystyle{ \frac{BN}{NA} = \frac{CM}{CA} \Rightarrow MN||BC}\)

czyli: \(\displaystyle{ QT||BD}\) niech prosta AP przecina BD w R, z tw. Cevy dla ABD i prostych \(\displaystyle{ AR,DQ, BT}\): \(\displaystyle{ \frac{BQ \cdot AT \cdot RB}{QA \cdot TD \cdot DR}= \frac{RB}{DR} =1}\), co kończy dowód

robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

[MIX][Planimetria] Geometria z Pawłowskiego

Post autor: robin5hood » 3 lis 2009, o 19:34

5. niestety widnieje w nierozwiązanych problemach tego forum
80505.htm

Awatar użytkownika
kluczyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 441
Rejestracja: 20 paź 2006, o 22:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Małopolska
Podziękował: 77 razy
Pomógł: 12 razy

[MIX][Planimetria] Geometria z Pawłowskiego

Post autor: kluczyk » 21 gru 2009, o 20:12

A zadanie 6?

robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

[MIX][Planimetria] Geometria z Pawłowskiego

Post autor: robin5hood » 21 gru 2009, o 22:07

kluczyk luknij na ten pdf
http://www.math.carleton.ca/~williams/p ... df/087.pdf

ODPOWIEDZ