Używając wielomianu Maclaurina stopnia 3 i reszty w postaci Lagrange'a zapisz funkcję
\(\displaystyle{ f(x)=(x+1)^{ \frac{2}{3} }}\)
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{2}{3}(x+1)^{-\frac{1}{3}}}\)
\(\displaystyle{ f''(x)=-\frac{2}{9}(x+1)^{-\frac{4}{3}}}\)
\(\displaystyle{ f'''(x)=\frac{8}{27}(x+1)^{-\frac{7}{3}}}\)
\(\displaystyle{ f''''(x)=-\frac{56}{81}(x+1)^{-\frac{10}{3}}}\)
zatem
\(\displaystyle{ (x+1)^{\frac{2}{3}} \approx 1+\frac{2}{3}x-\frac{1}{9}x^2+
\frac{4}{81}x^3-\frac{7}{243}(c+1)^{-\frac{10}{3}}x^4}\).
Dobrze?
Wielomian Maclaurina
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 8035
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1707 razy
Re: Wielomian Maclaurina
I.
Niech dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x) = ( x+1)^{\frac{2}{3}}}\) określona i różniczkowalna w pewnym otoczeniu punku \(\displaystyle{ 0. }\)
Bierzemy z tego otoczenia dowolną liczbę \(\displaystyle{ x \neq 0. }\)
Wówczas istnieje taka liczba \(\displaystyle{ c_{1}, }\) leżąca wewnątrz odcinka o końcach \(\displaystyle{ 0, x }\) taka, że
\(\displaystyle{ f(x) = 1 + \frac{\frac{2}{3}(c_{1}+1)^{-\frac{1}{3}}}{1!} x }\) - przybliżenie funkcji \(\displaystyle{ f(x) }\) wielomianem Maclaurina pierwszego stopnia.
II.
Niech dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x) = ( x+1)^{\frac{2}{3}}}\) określona i dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu \(\displaystyle{ 0. }\)
Bierzemy z tego otoczenia dowolną liczbę \(\displaystyle{ x \neq 0. }\)
Wówczas istnieje liczba \(\displaystyle{ c_{2}, }\) leżąca wewnątrz odcinka o końcach \(\displaystyle{ 0, x }\) taka, że
\(\displaystyle{ f(x) = 1 + \frac{\frac{2}{3}(0+1)^{-\frac{1}{3}}}{1!} x + \frac{-\frac{2}{9}(c_{2}+1)^{-\frac{4}{3}}}{2!}x^2 }\)- przybliżenie funkcji \(\displaystyle{ f(x) }\) wielomianem Maclaurina drugiego stopnia.
III.
Niech dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x) = ( x+1)^{\frac{2}{3}}}\) określona i trzykrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu \(\displaystyle{ 0. }\)
Bierzemy z tego otoczenia dowolną liczbę \(\displaystyle{ x \neq 0. }\)
Wówczas istnieje liczba \(\displaystyle{ c_{3}, }\) leżąca wewnątrz odcinka o końcach \(\displaystyle{ 0, x }\), taka, że
\(\displaystyle{ f(x) = 1 + \frac{\frac{2}{3}(0+1)^{-\frac{1}{3}}}{1!} x + \frac{-\frac{2}{9}(0+1)^{-\frac{4}{3}}}{2!}x^2 +\frac{\frac{8}{27}(c_{3}+1)^{-\frac{7}{3}}}{3!} x^3 }\)- przybliżenie funkcji \(\displaystyle{ f(x) }\) wielomianem Maclaurina trzeciego stopnia.
Z naszych rozważań wynika, że liczby \(\displaystyle{ c_{1}, c_{2}, c_{3} }\) należą do wnętrza odcinka o końcach \(\displaystyle{ 0, x .}\)
Proszę przeprowadzić podobne rozumowanie dla przybliżenia funkcji \(\displaystyle{ f(x) }\) wielomianem Maclaurina \(\displaystyle{ n-}\) tego stopnia.
Niech dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x) = ( x+1)^{\frac{2}{3}}}\) określona i różniczkowalna w pewnym otoczeniu punku \(\displaystyle{ 0. }\)
Bierzemy z tego otoczenia dowolną liczbę \(\displaystyle{ x \neq 0. }\)
Wówczas istnieje taka liczba \(\displaystyle{ c_{1}, }\) leżąca wewnątrz odcinka o końcach \(\displaystyle{ 0, x }\) taka, że
\(\displaystyle{ f(x) = 1 + \frac{\frac{2}{3}(c_{1}+1)^{-\frac{1}{3}}}{1!} x }\) - przybliżenie funkcji \(\displaystyle{ f(x) }\) wielomianem Maclaurina pierwszego stopnia.
II.
Niech dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x) = ( x+1)^{\frac{2}{3}}}\) określona i dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu \(\displaystyle{ 0. }\)
Bierzemy z tego otoczenia dowolną liczbę \(\displaystyle{ x \neq 0. }\)
Wówczas istnieje liczba \(\displaystyle{ c_{2}, }\) leżąca wewnątrz odcinka o końcach \(\displaystyle{ 0, x }\) taka, że
\(\displaystyle{ f(x) = 1 + \frac{\frac{2}{3}(0+1)^{-\frac{1}{3}}}{1!} x + \frac{-\frac{2}{9}(c_{2}+1)^{-\frac{4}{3}}}{2!}x^2 }\)- przybliżenie funkcji \(\displaystyle{ f(x) }\) wielomianem Maclaurina drugiego stopnia.
III.
Niech dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x) = ( x+1)^{\frac{2}{3}}}\) określona i trzykrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu \(\displaystyle{ 0. }\)
Bierzemy z tego otoczenia dowolną liczbę \(\displaystyle{ x \neq 0. }\)
Wówczas istnieje liczba \(\displaystyle{ c_{3}, }\) leżąca wewnątrz odcinka o końcach \(\displaystyle{ 0, x }\), taka, że
\(\displaystyle{ f(x) = 1 + \frac{\frac{2}{3}(0+1)^{-\frac{1}{3}}}{1!} x + \frac{-\frac{2}{9}(0+1)^{-\frac{4}{3}}}{2!}x^2 +\frac{\frac{8}{27}(c_{3}+1)^{-\frac{7}{3}}}{3!} x^3 }\)- przybliżenie funkcji \(\displaystyle{ f(x) }\) wielomianem Maclaurina trzeciego stopnia.
Z naszych rozważań wynika, że liczby \(\displaystyle{ c_{1}, c_{2}, c_{3} }\) należą do wnętrza odcinka o końcach \(\displaystyle{ 0, x .}\)
Proszę przeprowadzić podobne rozumowanie dla przybliżenia funkcji \(\displaystyle{ f(x) }\) wielomianem Maclaurina \(\displaystyle{ n-}\) tego stopnia.