Oblicz przybliżoną wartość

[max123321]

Korzystając z przybliżenia liniowego (różniczki funkcji) oblicz przybliżoną wartość wyrażenia
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt[10]{e} }{4+\sqrt[10]{e}} }\)

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc? Przybliżenie liniowe to chyba to samo co wzór Taylora tylko pierwszego rzędu, zgadza się? No dobra, ale jaką tę funkcję wziąć? I w jakim punkcie przybliżać?

[Gouranga]

Najsensowniej wziąć \(\displaystyle{ f(x) = \frac{\sqrt[10]{x}}{4 + \sqrt[10]{x}}}\) i przybliżać w x=e

[max123321]

No, ale co to da? Dostanę wtedy, że
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt[10]{e}}{4 + \sqrt[10]{e}} \approx \frac{\sqrt[10]{e}}{4 + \sqrt[10]{e}}+ \frac{ \frac{2}{5}e^{-\frac{9}{10} }}{(4+e^{\frac{1}{10}})^2} \cdot 0 }\).
I co dalej?

[Psiaczek]

\(\displaystyle{ \sqrt[10]{e}=e ^{ \frac{1}{10} } }\)

Ja przybliżałbym \(\displaystyle{ e^x}\) w otoczeniu \(\displaystyle{ x=0}\) czyli po prostu \(\displaystyle{ e^x \approx 1+x}\)
dla \(\displaystyle{ x= \frac{1}{10} }\) mamy \(\displaystyle{ e^ \frac{1}{10} \approx \frac{11}{10} }\)
a potem wstawił uzyskaną wartość i do licznika i do mianownika.

[max123321]

Racja, to ma więcej sensu.