Rachunek prawdopodobieństwa - twierdzenia graniczne

[jvlivg]

Dzień dobry, prosiłabym o pomoc w poniższych zadaniach
Z góry dziękuję za każde rozwiązanie

Zad. 1
Doświadczenie wskazuje, że spośród osób, które otrzymują kupony rabatowe tylko \(\displaystyle{ 10\%}\) z nich korzysta przychodząc do sklepu. Ile kuponów rabatowych należy rozdać, aby z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,95}\) zakupy zrobiło co najmniej \(\displaystyle{ 1000}\) osób?

Zad. 2
Wiemy, że średnio w co dwudziestej paczce chipsów znajduje się karta z postacią z kreskówki. Ile paczek należy kupić, by z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,9}\) mieć co najmniej \(\displaystyle{ 20}\) kart?

Zad. 3
W pewnym 5-tysięcznym miasteczku znajduje się wypożyczalnia dysponująca dziewięcioma rowerami. Prawdopodobieństwo, że dowolny mieszkaniec w danym dniu wypożyczy rower na cały dzień wynosi \(\displaystyle{ 0,002.}\) Jakie jest prawdopodobieństwo, że 5 maja zostaną wypożyczone wszystkie rowery?

[matmatmm]

Wyczytałem, że gdy \(\displaystyle{ np}\) oraz \(\displaystyle{ n(1-p)}\) są większe od \(\displaystyle{ 5}\), to rozkład dwumianowy \(\displaystyle{ B(n,p)}\) można przybliżać rozkładem normalnym.

Zad. 1
Niech \(\displaystyle{ X_{n,p}}\) to zmienna losowa o rozkładzie dwumianowym \(\displaystyle{ B(n,p)}\), gdzie \(\displaystyle{ p=0,1}\). Szukamy najmniejszego \(\displaystyle{ n\in\NN}\) takiego, że \(\displaystyle{ P(X_{n,p}\geq 1000)\geq 0,95}\). Dla dużych \(\displaystyle{ n}\) zmienna \(\displaystyle{ X_{n,p}}\) ma w przybliżeniu rozkład normalny \(\displaystyle{ N(\mu, \sigma^2)=N(np, np(1-p))}\). Niech \(\displaystyle{ Y}\) to zmienna losowa o standardowym rozkładzie normalnym \(\displaystyle{ N(0,1)}\). Mamy równanie

\(\displaystyle{ P\left( Y\sqrt{np(1-p)}+np \leq 1000\right) \leq 0,05 }\)

\(\displaystyle{ P\left( Y \leq \frac{1000-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right) \leq 0,05 }\)

Kwantyl rzędu \(\displaystyle{ 0,05}\) standardowego rozkładu normalnego wynosi w przybliżeniu \(\displaystyle{ -1,644854}\), więc

\(\displaystyle{ \frac{1000-np}{\sqrt{np(1-p)}} \leq -1,644854}\)

Pozostaje rozwiązać równanie kwadratowe.

Moja odpowiedź to \(\displaystyle{ n= 10506}\).

[janusz47]

Zadanie 2

Twierdzenie graniczne Moivre'a-Laplace'a

\(\displaystyle{ Pr( S_{n} \geq 20) = 0,9.}\)

\(\displaystyle{ Pr\left(\frac{S_{n} - \frac{5}{20}n}{\sqrt{n\cdot \frac{1}{20}\cdot \frac{19}{20}}} \geq \frac{20 - \frac{5}{20}n}{\sqrt{\frac{19n}{20^2}}} \right) = 0.9}\)

\(\displaystyle{ 1 - Pr\left(S^{*}_{n} < \frac{400 - 5n}{\sqrt{19n}}\right)= 0,9 }\)

\(\displaystyle{ 1- \phi\left(\frac{400 - 5n}{\sqrt{19n}}\right) = 0,9}\)

\(\displaystyle{ \phi\left(\frac{400 - 5n}{\sqrt{19n}}\right) = 0,1 }\)

\(\displaystyle{ \phi\left(\frac{400 - 5n}{\sqrt{19n}}\right) = \phi(-1,28) }\)


\(\displaystyle{ \frac{400 - 5n}{\sqrt{19n}}= -1,28 }\)

\(\displaystyle{ n = 91.}\)

Należy kupić 91 paczek chipsów.

[janusz47]

KOREKTA

Zadanie 2

Twierdzenie graniczne Moivre'a-Laplace'a

\(\displaystyle{ Pr( S_{n} \geq 20) = 0,9.}\)

\(\displaystyle{ Pr\left(\frac{S_{n} - \frac{1}{20}n}{\sqrt{n\cdot \frac{1}{20}\cdot \frac{19}{20}}} \geq \frac{20 - \frac{1}{20}n}{\sqrt{\frac{19n}{20^2}}} \right) = 0.9}\)

\(\displaystyle{ 1 - Pr\left(S^{*}_{n} < \frac{400 - 20n}{\sqrt{19n}}\right)= 0,9 }\)

\(\displaystyle{ 1- \phi\left(\frac{400 - 20n}{\sqrt{19n}}\right) = 0,9}\)

\(\displaystyle{ \phi\left(\frac{400 - 20n}{\sqrt{19n}}\right) = 0,1 }\)

\(\displaystyle{ \phi\left(\frac{400 - 20n}{\sqrt{19n}}\right) = \phi(-1,28) }\)


\(\displaystyle{ \frac{400 - 20n}{\sqrt{19n}}= -1,28 }\)

\(\displaystyle{ n = 22.}\)

Należy kupić 22 paczki chipsów.