Oblicz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}\), jeśli \(\displaystyle{ \alpha,\beta\in(\frac{3\pi}{2},2\pi)}\) oraz \(\displaystyle{ \ctg \alpha=-\frac{5}{12},\tg\beta=-\frac{3}{4} }\).
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
\(\displaystyle{ \cos\alpha=-\frac{5}{12}\sin\alpha}\), stąd
\(\displaystyle{ \sin^2\alpha+\frac{25}{144}\sin^2\alpha=1}\), czyli
\(\displaystyle{ \sin\alpha=-\frac{12}{13}}\)
\(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{5}{13}}\)
\(\displaystyle{ \sin\beta=-\frac{3}{4}\cos\beta}\)
\(\displaystyle{ \cos^2\beta+\frac{9}{16}\cos^2\beta=1}\)
\(\displaystyle{ \cos\beta=\frac{4}{5}}\)
\(\displaystyle{ \sin\beta=-\frac{3}{5}}\). Zatem
\(\displaystyle{ \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\frac{5}{13}\frac{4}{5}+(-\frac{12}{13}\frac{-3}{5})=\frac{4}{13}+\frac{36}{65}=\frac{56}{65}}\).
Dobrze?
