Prawdopodobieństwo wylęgnięcia się kurczaka z zapłodnionego jaja wynosi \(\displaystyle{ \frac{11}{12}.}\) Z \(\displaystyle{ 12}\) jaj, z których \(\displaystyle{ 4}\) są zapłodnione, a \(\displaystyle{ 8}\) niezapłodnionych wybieramy losowo do inkubacji \(\displaystyle{ 3}\) jaja. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylęgnie się choćby jeden kurczak?
Czy ktoś mi pomoże poprzez zdarzenie przeciwne?
Prawdopodobienśtwo
-
NumberTwo
- Użytkownik
- Posty: 108
- Rejestracja: 20 sty 2021, o 10:40
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 2 razy
Prawdopodobienśtwo
Ostatnio zmieniony 19 paź 2024, o 21:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 36054
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 5341 razy
-
NumberTwo
- Użytkownik
- Posty: 108
- Rejestracja: 20 sty 2021, o 10:40
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 2 razy
Re: Prawdopodobienśtwo
Można to zrobić poprzez zdarzenie przeciwne że nie wykluje się żaden kurczak? Czyli trzeba policzyć jaka jest szansa na wyklucie się 0 kurczaków przy wylosowaniu 3 zapłodnienionych , 2,1 i 0?
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 8035
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1707 razy
Re: Prawdopodobienśtwo
W opisanym w treści zadania doświadczeniu losowym można wyróżnić dwa etapy:
Etap 1 - wybór trzech jaj
Etap 2- inkubacja wybranych jaj.
Jako przestrzeń zdarzeń elementarnych w doświadczeniu wykonywanym w pierwszym etapie przyjmujemy:
\(\displaystyle{ \Omega_{1}= \{ I_{0}, I_{1}, I_{2}, I_{3}\}, }\)
gdzie
\(\displaystyle{ I_{k}, (k=0,1,2,3) }\) jest liczbą wylęgniętych kurczaków.
Na \(\displaystyle{ \Omega_{1} }\) określamy rozkład prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P_{1} }\) za pomocą wzorów:
\(\displaystyle{ P_{1}(I_{0}) = \frac{{8\choose 3}}{{12\choose 3}}, \ \ P_{1}(I_{1}) = \frac{{4\choose 1}\cdot {8\choose 2}}{{12\choose 3}}, \ \ P_{1}(I_{2}) = \frac{{4\choose 2}\cdot {8\choose 1}}{{12\choose 3}}, \ \ P_{1}(I_{3}) = \frac{{4\choose 3}}{{12\choose 3}}. }\)
Jako przestrzeń zdarzeń elementarnych w doświadczeniu wykonywanym w drugim etapie przyjmujemy:
\(\displaystyle{ \Omega_{2} = \{ 0, 1, 2, 3 \}.}\)
gdzie
\(\displaystyle{ 0 - }\) wylęgniętych kurzczaków,
\(\displaystyle{ 1- }\) wylęgnięty kurzczak,
\(\displaystyle{ 2-}\) wylęgnięte kurzczaki,
\(\displaystyle{ 3- }\) wylęgnięte kurzczaki.
Określamy rozkłady prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P_{2|0}, P_{2|1}, P_{2|2}, P_{2|3} }\) na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega_{2}. }\)
Biorąc pod uwagę zdarzenia \(\displaystyle{ I_{k}, \ \ k=0,1,2,3 }\) przyjmujemy:
\(\displaystyle{ P_{2|0}(0) = 1, }\) bo jeżeli w pierwszym etapie nie wylosowaliśmy jaja zapłodnionego, to w drugim etapie z prawdopodobieństwem [tex] 1 [/tex] kurczak się nie wylęgnie.
\(\displaystyle{ P_{2|0}(1) = P_{2|0} (2) = P_{2|0}(3) = 0. }\) bo jeżeli w pierwszym etapie nie wylosowaliśmy jaja zapłodnionego, to w drugim etapie z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0 }\) wylęgną się jeden, dwa lub trzy kurczaki.
Podobnie rozumując mamy
\(\displaystyle{ P_{2|1}(0) = 1 - \frac{11}{12} = \frac{1}{12}, \ \ P_{2|1}(1) = \frac{11}{12}, \ \ P_{2|1}(2) = P_{2|1}(3) = 0, }\)
\(\displaystyle{ P_{2|2}(k) = {2\choose k}\left(\frac{11}{12}\right)^{k}\left(\frac{1}{12}\right)^{2-k}, \ \ (k= 0,1, 2), \ \ P_{2|2}(3) = 0, }\)
\(\displaystyle{ P_{2|3}(k) = {3\choose k}\left(\frac{11}{12}\right)^{k}\left(\frac{1}{12}\right)^{3-k}, \ \ (k= 0,1, 2, 3).}\)
Jako modeł łączny całego dwuetapowego doświadczenia przyjmujemy parę \(\displaystyle{ (\Omega^{(2)}, P^{(2)})}\) gdzie \(\displaystyle{ \Omega^{(2)} = \Omega_{1}\times \Omega_{2}, }\) a rozkład \(\displaystyle{ P^{(2)} }\) dany jest wzorem \(\displaystyle{ P^{(2)}(\omega^{(1)}_{1}, \omega^{(2)}_{j}) = P_{1}(\omega_{1})\cdot P_{2|i}(\omega_{j}^{(2)}).}\)
Stąd,
jeżeli przez \(\displaystyle{ K }\) - oznaczymy zdarzenie " wylęgnie się choćby jeden kurczak", to ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego
\(\displaystyle{ P(K) = 1 - P(K') = 1 -[ P^{(2)}(I_{0},0) + P^{(2)}(I_{1}, 0) + P^{(2)}(I_{2}, 0) + P^{(2)}(I_{3}, 0)] = }\)
\(\displaystyle{ = 1 - \left[ \frac{{8\choose 3}}{{12\choose 3}}\cdot 1 + \frac{{4\choose 1}\cdot {8\choose 2}}{{12\choose 3}}\cdot \left( \frac{1}{12}\right)^{1} + \frac{{4\choose 2}\cdot {8\choose 1}}{{12\choose 3}}\cdot \left(\frac{1}{12}\right)^2 + \frac{{4\choose 3}}{{12\choose 3}} \cdot \left(\frac{1}{12}\right)^3\right]= 0,7015046.}\)
Program R
Interpretacja otrzymanej wartości prawdopodobieństwa
Jeśli z \(\displaystyle{ 12 }\) jaj, w których \(\displaystyle{ 4 }\) są zapłodnione a \(\displaystyle{ 8 }\) nie zapłodnionych, wybierzemy losowo do inkubacji \(\displaystyle{ 3 }\) jajka, to możemy oczekiwać, że w ponad \(\displaystyle{ 70\% }\) ogólnej liczby wyników - wylęgnie się choćby jeden kurczak.
Etap 1 - wybór trzech jaj
Etap 2- inkubacja wybranych jaj.
Jako przestrzeń zdarzeń elementarnych w doświadczeniu wykonywanym w pierwszym etapie przyjmujemy:
\(\displaystyle{ \Omega_{1}= \{ I_{0}, I_{1}, I_{2}, I_{3}\}, }\)
gdzie
\(\displaystyle{ I_{k}, (k=0,1,2,3) }\) jest liczbą wylęgniętych kurczaków.
Na \(\displaystyle{ \Omega_{1} }\) określamy rozkład prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P_{1} }\) za pomocą wzorów:
\(\displaystyle{ P_{1}(I_{0}) = \frac{{8\choose 3}}{{12\choose 3}}, \ \ P_{1}(I_{1}) = \frac{{4\choose 1}\cdot {8\choose 2}}{{12\choose 3}}, \ \ P_{1}(I_{2}) = \frac{{4\choose 2}\cdot {8\choose 1}}{{12\choose 3}}, \ \ P_{1}(I_{3}) = \frac{{4\choose 3}}{{12\choose 3}}. }\)
Jako przestrzeń zdarzeń elementarnych w doświadczeniu wykonywanym w drugim etapie przyjmujemy:
\(\displaystyle{ \Omega_{2} = \{ 0, 1, 2, 3 \}.}\)
gdzie
\(\displaystyle{ 0 - }\) wylęgniętych kurzczaków,
\(\displaystyle{ 1- }\) wylęgnięty kurzczak,
\(\displaystyle{ 2-}\) wylęgnięte kurzczaki,
\(\displaystyle{ 3- }\) wylęgnięte kurzczaki.
Określamy rozkłady prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P_{2|0}, P_{2|1}, P_{2|2}, P_{2|3} }\) na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega_{2}. }\)
Biorąc pod uwagę zdarzenia \(\displaystyle{ I_{k}, \ \ k=0,1,2,3 }\) przyjmujemy:
\(\displaystyle{ P_{2|0}(0) = 1, }\) bo jeżeli w pierwszym etapie nie wylosowaliśmy jaja zapłodnionego, to w drugim etapie z prawdopodobieństwem [tex] 1 [/tex] kurczak się nie wylęgnie.
\(\displaystyle{ P_{2|0}(1) = P_{2|0} (2) = P_{2|0}(3) = 0. }\) bo jeżeli w pierwszym etapie nie wylosowaliśmy jaja zapłodnionego, to w drugim etapie z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0 }\) wylęgną się jeden, dwa lub trzy kurczaki.
Podobnie rozumując mamy
\(\displaystyle{ P_{2|1}(0) = 1 - \frac{11}{12} = \frac{1}{12}, \ \ P_{2|1}(1) = \frac{11}{12}, \ \ P_{2|1}(2) = P_{2|1}(3) = 0, }\)
\(\displaystyle{ P_{2|2}(k) = {2\choose k}\left(\frac{11}{12}\right)^{k}\left(\frac{1}{12}\right)^{2-k}, \ \ (k= 0,1, 2), \ \ P_{2|2}(3) = 0, }\)
\(\displaystyle{ P_{2|3}(k) = {3\choose k}\left(\frac{11}{12}\right)^{k}\left(\frac{1}{12}\right)^{3-k}, \ \ (k= 0,1, 2, 3).}\)
Jako modeł łączny całego dwuetapowego doświadczenia przyjmujemy parę \(\displaystyle{ (\Omega^{(2)}, P^{(2)})}\) gdzie \(\displaystyle{ \Omega^{(2)} = \Omega_{1}\times \Omega_{2}, }\) a rozkład \(\displaystyle{ P^{(2)} }\) dany jest wzorem \(\displaystyle{ P^{(2)}(\omega^{(1)}_{1}, \omega^{(2)}_{j}) = P_{1}(\omega_{1})\cdot P_{2|i}(\omega_{j}^{(2)}).}\)
Stąd,
jeżeli przez \(\displaystyle{ K }\) - oznaczymy zdarzenie " wylęgnie się choćby jeden kurczak", to ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego
\(\displaystyle{ P(K) = 1 - P(K') = 1 -[ P^{(2)}(I_{0},0) + P^{(2)}(I_{1}, 0) + P^{(2)}(I_{2}, 0) + P^{(2)}(I_{3}, 0)] = }\)
\(\displaystyle{ = 1 - \left[ \frac{{8\choose 3}}{{12\choose 3}}\cdot 1 + \frac{{4\choose 1}\cdot {8\choose 2}}{{12\choose 3}}\cdot \left( \frac{1}{12}\right)^{1} + \frac{{4\choose 2}\cdot {8\choose 1}}{{12\choose 3}}\cdot \left(\frac{1}{12}\right)^2 + \frac{{4\choose 3}}{{12\choose 3}} \cdot \left(\frac{1}{12}\right)^3\right]= 0,7015046.}\)
Program R
Kod: Zaznacz cały
> PK1=choose(8,3)/choose(12,3)*1
> PK1
[1] 0.2545455
> PK2=choose(4,1)*choose(8,2)/choose(12,3)*(1/12)
> PK2
[1] 0.04242424
> PK3= choose(4,2)*choose(8,1)/choose(12,3)*(1/12)^2
> PK3
[1] 0.001515152
> PK4=(choose(4,3)/choose(12,3))*(1/12)^3
> PK4
[1] 1.052189e-05
> PK=1-(PK1+PK2+PK3+PK4)
> PK
[1] 0.7015046
Jeśli z \(\displaystyle{ 12 }\) jaj, w których \(\displaystyle{ 4 }\) są zapłodnione a \(\displaystyle{ 8 }\) nie zapłodnionych, wybierzemy losowo do inkubacji \(\displaystyle{ 3 }\) jajka, to możemy oczekiwać, że w ponad \(\displaystyle{ 70\% }\) ogólnej liczby wyników - wylęgnie się choćby jeden kurczak.