Zasada szufladkowa w wersji geometrycznej

[arek1357]

Znalazłem coś takiego:

Udowodnimy, ze gdy pomaluje się
ponad polowe powierzchni sfery, to będzie istniała
taka średnica, która ma pomalowane oba końce.
Gdyby tak nie było, to przy wykonywaniu symetrii
środkowej względem środka sfery punkt pomalowany
zawsze trafiałby na punkt nie pomalowany.
Zatem, symetryczny obraz \(\displaystyle{ N}\) zbioru \(\displaystyle{ P}\) wszystkich
pomalowanych punktów sfery składałby się wyłącznie
z punktów nie pomalowanych. Zbiory \(\displaystyle{ P \wedge N}\) są więc
rozłączne, maja równe pola, i mieszczą sie razem
na sferze. To jednak nie jest możliwe, gdy pole \(\displaystyle{ P}\)
przekracza polowe pola powierzchni sfery.

Wszystko jest pięknie i poprawnie, ale co się stanie jak pomalowany zbiór będzie niemierzalny...

[a4karo]

Skoro pomalowane pole przekracza... to znaczy że to pole istnieje. Przynajmniej tak mi się zdaje

[arek1357]

No tak ale jak założymy, że zbiór pomalowany jest niemierzalny to co wtedy???

[a4karo]

To nie będziesz wiedział, że jego pole jest większe niż połowa, bo tego pola nie będziesz znał

[arek1357]

No to mamy przerąbane taka matematyczna czarna dziura...

[Slup]

Na każdej sferze \(\displaystyle{ \mathbb{S}}\) można zdefiniować skończenie addytywną miarę \(\displaystyle{ m:\mathcal{P}(\mathbb{S}) \rightarrow [0,1]}\) taką, że
\(\displaystyle{ m(\mathbb{S}) = 1}\)
oraz
\(\displaystyle{ m(A) = m\left(s(A)\right)}\)
gdzie \(\displaystyle{ s}\) jest symetrią względem środka i \(\displaystyle{ A\subseteq \mathbb{S}}\).

Wynika to z tego, że grupa \(\displaystyle{ \{1, s\}}\) jest abelowa. Banach to zrobił dla wszystkich izometrii okręgu bodaj w 1924 – można też znaleźć dowód w jego "Teorii Operacji Liniowych". Kluczowym założeniem w rozumowaniu Banacha jest abelowość grupy, która pozwala wykazać ekwiwariantną wersję Hahna-Banacha. Są też uogólnienia istnienia tych miar skończonie addytywnych na inne grupy autorstwa Tarskiego.

To załatwia sprawę z tym zadaniem.