Udowodnienie że obraz jest płaszczyzną

[765487]

Mam za zadanie wykazać, że podprzestrzeń \(\displaystyle{ \RR^3}\) określona jako kombinacja liniowa wektorów \(\displaystyle{ [1,2,3],[2,0,-2]}\) jest płaszczyzną o równaniu \(\displaystyle{ x-2y+z=0}\), lecz nie wiem jak się za to zabrać, proszę o pomoc.

[janusz47]

Z definicji zbioru wszystkich kombinacji liniowych wektorów \(\displaystyle{ \vec{v_{1}} = (1 \ \ 2 \ \ 3, \ \ \vec{v_{2}} = (2 \ \ 0 \ \ -2) }\)

\(\displaystyle{ span \left [ \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3) \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\-2 \end{bmatrix}\right ] = \left \{ (x,y,x)\in \RR^3: (x \ \ y \ \ z) = \alpha \begin{bmatrix}1\\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{bmatrix} \ \ \alpha, \beta \in \RR \right \}. }\)

Znajdujemy \(\displaystyle{ span\{ \vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}\} }\), sprowadzając macierz układu \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 & x \\ 2 & 0 & y \\ 3 & -2 & z \end{bmatrix} }\) do postaci schodkowej. Wykonujemy operacje elementarne na jej wierszach.

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 & x \\ 2 & 0 & y \\ 3 & -2 & z \end{bmatrix} }\)

\(\displaystyle{ w_{2} - 2\cdot w_{1}, \ \ w_{3} - 3\cdot w_{1} }\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 & x \\ 0 & -4 & -2x + y \\ 0 & -8 & -3x + z \end{bmatrix} }\)

\(\displaystyle{ w_{3} \cdot \left(\frac{1}{4}\right) }\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 & x \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} x -\frac{1}{4} y \\ 0 & -8 & -3x + z \end{bmatrix} }\)

\(\displaystyle{ w_{3} + 8\cdot w_{2} }\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 & x \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} x -\frac{1}{4} y \\ 0 & 0 & x -2y + z \end{bmatrix} }\)

Z ostatniego wiersza macierzy wynika, że \(\displaystyle{ x - 2y + z = 0. }\)

Podprzestrzeń przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3 }\) generowana przez kombinację liniową wektorów \(\displaystyle{ \vec{v_{1}} = (1 \ \ 2 \ \ 3), \ \ \vec{v_{2}} = (2 \ \ 0 \ \ -2) }\) jest płaszczyzną \(\displaystyle{ x - 2y + z = 0. }\)

\(\displaystyle{ \Box }\)

PS
Proszę poprawić czytelność swoich postów. Samouczek \(\displaystyle{ \LaTeX' a }\) jest na Forum.

[Jan Kraszewski]

Dużo prościej jest sprawdzić, że oba te wektory należą do tej płaszczyzny oraz że są liniowo niezależne (oraz skorzystać z podstawowych twierdzeń algebry liniowej).

JK

[765487]

Z definicji zbioru wszystkich kombinacji liniowych wektorów \(\displaystyle{ \vec{v_{1}} = (1 \ \ 2 \ \ 3, \ \ \vec{v_{2}} = (2 \ \ 0 \ \ -2) }\)

\(\displaystyle{ span \left [ \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3) \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\-2 \end{bmatrix}\right ] = \left \{ (x,y,x)\in \RR^3: (x \ \ y \ \ z) = \alpha \begin{bmatrix}1\\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{bmatrix} \ \ \alpha, \beta \in \RR \right \}. }\)

Znajdujemy \(\displaystyle{ span\{ \vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}\} }\), sprowadzając macierz układu \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 & x \\ 2 & 0 & y \\ 3 & -2 & z \end{bmatrix} }\) do postaci schodkowej. Wykonujemy operacje elementarne na jej wierszach.

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 & x \\ 2 & 0 & y \\ 3 & -2 & z \end{bmatrix} }\)

\(\displaystyle{ w_{2} - 2\cdot w_{1}, \ \ w_{3} - 3\cdot w_{1} }\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 & x \\ 0 & -4 & -2x + y \\ 0 & -8 & -3x + z \end{bmatrix} }\)

\(\displaystyle{ w_{3} \cdot \left(\frac{1}{4}\right) }\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 & x \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} x -\frac{1}{4} y \\ 0 & -8 & -3x + z \end{bmatrix} }\)

\(\displaystyle{ w_{3} + 8\cdot w_{2} }\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 & x \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} x -\frac{1}{4} y \\ 0 & 0 & x -2y + z \end{bmatrix} }\)

Z ostatniego wiersza macierzy wynika, że \(\displaystyle{ x - 2y + z = 0. }\)

Podprzestrzeń przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3 }\) generowana przez kombinację liniową wektorów \(\displaystyle{ \vec{v_{1}} = (1 \ \ 2 \ \ 3), \ \ \vec{v_{2}} = (2 \ \ 0 \ \ -2) }\) jest płaszczyzną \(\displaystyle{ x - 2y + z = 0. }\)

\(\displaystyle{ \Box }\)

PS
Proszę poprawić czytelność swoich postów. Samouczek \(\displaystyle{ \LaTeX' a }\) jest na Forum.

Jeśli dobrze rozumiem to żeby założenie było poprawne, ten ostatni wiersz macierzy musi się cały zerować, dlatego przyrównujemy ostatni wyraz do zera tzn. \(\displaystyle{ x-2y+z=0}\)?
Czy traktujemy po prostu macierz jako złożoną z dwóch wektorów i rozszerzoną o wektor \(\displaystyle{ [x,y,z]}\) i rozwiązujemy układ równań?
Następne posty, jeśli będą, będę redagował latexem, bo teraz z pozycji telefonu jest mi ciężko, pozdrawiam.

[janusz47]

Chcemy wiedzieć, dla jakich wartości \(\displaystyle{ [x \ \ y \ \ z] }\) ten układ równań ma rozwiązanie dla \(\displaystyle{ \alpha }\) i \(\displaystyle{ \beta. }\)

Innymi słowy musi zachodzić równość \(\displaystyle{ rząd[A] = rząd[A\ \ B] = 2. }\)