Zagadnienie optymalizacyjne

[Damieux]

Hejka,
do rozwiązania jest zadanie o treści:
W stożek o promieniu podstawy \(\displaystyle{ r}\) i wysokości \(\displaystyle{ h}\) wpisano prostopadłościan, w którym stosunek długości krawędzi podstawy wynosi \(\displaystyle{ 2:1}\). Wyznacz największą możliwą objętość tego prostopadłościanu.

Zacząłem w ten sposób:
1. Przekątna podstawy prostopadłościanu będzie równa podwojonej długości promienia okręgu opisanego na tej podstawie:
\(\displaystyle{ r _{2} }\) - promień okręgu opisanego na podstawie prostopadłościanu
\(\displaystyle{ x}\) - długość jednegp boku podstawy
\(\displaystyle{ 2x}\) - długość drugiego boku podstawy

\(\displaystyle{ x ^{2}+\left( 2x\right) ^{2}=\left(2 r _{2} \right) ^{2} }\)
\(\displaystyle{ r _{2}= \frac{ \sqrt{5}x }{2} }\)

2. Niech \(\displaystyle{ h _{2} }\) będzie wysokością stożka, którego podstawa leży na górnej podstawie prostopadłościanu

Z twierdzenia Talesa wynika, że

\(\displaystyle{ \frac{h _{2} }{r _{2} }= \frac{h}{r} \Rightarrow h _{2}= \frac{hr _{2} }{r} }\)


3. Objętość prostopadłościanu:

\(\displaystyle{ V=x \cdot 2x \cdot \left( h-h _{2} \right) =2x ^{2} \cdot \left( h- \frac{hr _{2} }{r} \right) }\)

4. Pochodna funkcji \(\displaystyle{ V(x)}\) ale już na tym etapie sądzę, że za dużo niewiadomych wyszło, dlatego dalej nie chcę kombinować...

Odpowiedź ma wyjść \(\displaystyle{ \frac{32}{135}r ^{2}h }\)

Proszę o wskazówki.

[piasek101]

Przekrój osiowy stożka idący przez przekątną podstawy prostopadłościanu i podobieństwo trójkątów (górnego i dolnego) na nim, aby uzależnić niewiadome od siebie.
[edit] Nie czekaj to masz na górze. Więc masz wyznaczone \(\displaystyle{ r_2}\) w zależności od \(\displaystyle{ x}\), wstaw to zamiast \(\displaystyle{ r_2}\) do wzoru na objętość.
[edit1] Wynik z odpowiedzi ok.

[janusz47]

Uzupełnienie rozwiązania Damieux.

Objętość prostopadłościanu

\(\displaystyle{ V = P\cdot h' = x \cdot 2x \cdot h' = 2x^2\cdot h' \ \ (1) }\)

Ze wzoru Pitagorasa (rys.1)

\(\displaystyle{ x^2 + (2x)^2 = (2r')^2 \rightarrow 5x^2 = 4r'^2 \rightarrow r' = \frac{x\sqrt{5}}{2} \ \ (2)}\)

Z podobieństwa trójkątów (rys. 2)

\(\displaystyle{ \frac{h^{''}}{r'} = \frac{h}{r} }\)

\(\displaystyle{ h^{''} = \frac{r'\cdot h}{r} \overset{(2)}= \frac{x\sqrt{5}}{2r}h }\)

Wysokość prostopadłościanu

\(\displaystyle{ h' = h - h^{''} = h - \frac{x\sqrt{5}}{2r}h = h\left( 1- \frac{x\sqrt{5}}{2r}\right) \ \ (3) }\)

\(\displaystyle{ V(x) \overset{(1)} = 2x^2h\left(1 - \frac{x\sqrt{5}}{2r}\right) \ \ (4)}\)

Znajdujemy maksimum lokalne funkcji \(\displaystyle{ V(x) }\)

\(\displaystyle{ V'(x) = 4x\cdot h \left(1 - \frac{x\sqrt{5}}{2r}\right) + 2x^2 \cdot h \left(-\frac{\sqrt{5}}{2r} \right) = 4x\cdot h -\frac{4x^2\sqrt{5}}{2r}h - \frac{2x^2\sqrt{5}}{2r}h = 4x\cdot h - \frac{6x^2\sqrt{5}}{2r}h = 4x\cdot h - \frac{3x^2\sqrt{5}}{r}h \ \ (5) }\)

\(\displaystyle{ V'(x) = 0 \leftrightarrow 4x\cdot h - \frac{3x^2\sqrt{5}\cdot h}{r} = 0 \leftrightarrow \frac{4x\cdot h\cdot r - 3x^2\sqrt{5}\cdot h}{r} = 0 \leftrightarrow xh( 4r - 3x\sqrt{5}) = 0 \leftrightarrow 4r - 3x\sqrt{5} = 0 \leftrightarrow x^{*} = \frac{4r}{3\sqrt{5}}.}\)

Sprawdzamy, czy funkcja \(\displaystyle{ V(x) }\) osiąga w punkcie \(\displaystyle{ x^{*} }\) maksimum lokalne.

W tym celu stosujemy test drugiej pochodnej

\(\displaystyle{ V^{''} (x) \overset{(5)}= 4 h - \frac{6x \cdot \sqrt{5}}{r} h = 2h \left( 2 - \frac{3x\sqrt{5}}{r} \right). }\)

\(\displaystyle{ V^{''}(x) =\left(\frac{4r}{3\sqrt{5}}\right) = 2h\left(2 - \frac{3\cdot 4r\cdot\sqrt{5}}{3\cdot \sqrt{5}\cdot r} \right) = 2h( 2 - 4) = -4h<0.}\)

W \(\displaystyle{ x^{*} = \frac{4r}{3\sqrt{5}} }\) występuje maksimum lokalne funkcji \(\displaystyle{ V(x).}\)

Maksymalna wartość objętości prostopadłościanu wpisanego w stożek o danym promieniu \(\displaystyle{ r }\) i danej wysokości \(\displaystyle{ h }\) wynosi

\(\displaystyle{ V(x^{*}) \overset{(4)} = 2\left(\frac{4r}{3\sqrt{5}}\right)^2 h = \left(1 - \frac{4r\sqrt{5}}{3\cdot 2r\cdot \sqrt{5}}\right) = \frac{32r^2\cdot h}{45}\left (1 - \frac{2}{3} \right) = \frac{32}{135} r^2 \cdot h.}\)

[Damieux]

Dziękuję