Dany jest kwadrat ABCD

[max123321]

Dany jest kwadrat \(\displaystyle{ ABCD}\). Punkt \(\displaystyle{ P}\) leży na półprostej \(\displaystyle{ AB}\) na zewnątrz odcinka \(\displaystyle{ AB}\). Punkt \(\displaystyle{ Q}\) leży na półprostej \(\displaystyle{ BC}\) na zewnątrz odcinka \(\displaystyle{ BC}\). Wykazać, że jeśli
\(\displaystyle{ AP=PQ+QC}\),
to \(\displaystyle{ \angle PDQ=45^\circ}\).

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

[dzialka11o]

Na dowolnym podanym kwadracie opiszmy okrąg .
Poprowadź symetralne kwadratu do przecięcia z opisanym okręgiem .
Otrzymamy cztery trójkąty równoramienne oparte na bokach tego kwadratu .
Zgodnie z treścią zadania zbadaj pod jakim kątem widać górny bok kwadratu
z wierzchołka tego trójkąta równoramiennego , i ile wynosi kąt przy podstawie tego trójkąta równoramiennego.
Tu pytanie pod jakim kątem widać pozostałe boki kwadratu z wierzchołka tego trójkąta równoramiennego .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dla zainteresowanych proponuję zbadać pod jakim kątem widać boki kwadratu z dowolnego punktu na okręgu ,
Z poważaniem T.W.

Dodano po 5 dniach 1 godzinie 2 sekundach:
Proponuję w ośmiokąt foremny wpisać kwadrat to okrąg opisany na tym ośmiokącie równa się przekątnej kwadratu .
W takim razie można wyznaczyć kąty wewnętrzne między bokami w ośmiokącie foremnym .
Jakie można wyciągnąć wnioski z powyższego faktu .
T.W.

[3a174ad9764fefcb]

Na półprostej \(AB\) Niech \(E\) będzie taki, że \(AE=QC\). Trójkąty \(AED\) i \(CQD\) są przystające. Trójkąt \(EQD\) jest prostokątny równoramienny. Prosta \(DP\) jest osią symetrii deltoidu \(PQDE\).

[dzialka11o]

Tu zauważamy że BC + CQ = przekątnej kwadratu AC
T.W.

[3a174ad9764fefcb]

Ale tylko w jednym na continuum możliwych przypadków. Co z pozostałymi?

[dzialka11o]

Dzięki za pytanie : dla pozostałych przypadków zachodzi podobna relacja .
Przykładowo \(\displaystyle{ AB +CQ = AP^*}\) stąd \(\displaystyle{ AP^*= P^* Q}\) oraz \(\displaystyle{ AP^* =AC.}\)
Tu można wyróżnić cztery podstawowe takie kombinacje względem boków kwadratu \(\displaystyle{ ABCD .}\)
T.W.