Dziękuje, ale to jeszcze nie koniec- tu autorzy wykazali jedynie, że każdy punkt elipsy spełnia jej równanie, a to jest jeszcze za mało, bo dla dolnej połówki elipsy tak samo każdy jej punkt spełnia równanie tej elipsy, a nie jest to cala elipsa. Trzeba zatem wykazać, że nie ma innych takich punktów, tzn. trzeba pokazać, że jeśli weźmiemy punkt spoza elipsy to on
nie będzie spełniał jej równania. Zaprezentuje tutaj inny sposób wyprowadzenia równania elipsy (bez pierwiastków) jak zasugerowali w książce 'Co to jest matematyka' (wraz z tą moją poprawką).
Niech
\(\displaystyle{ S}\) będzie elipsą o środku w początku układu i o półosiach
\(\displaystyle{ a,b>0}\), i niech
\(\displaystyle{ N}\) będzie odległością środka symetrii elipsy od jego ognisk. Wtedy suma odległości od ognisk elipsy do skrajnego lewego punktu tej elipsy wynosi
\(\displaystyle{ (a-N)+(a+N)=2a}\), a ponieważ, z definicji elipsy, suma odległości dowolnego jej punktu od jego ognisk jest stała, a więc również jest równa
\(\displaystyle{ 2a}\). Niech
\(\displaystyle{ \left( x,y\right)}\) będzie dowolnym ustalonym punktem tej elipsy, i niech
\(\displaystyle{ r}\) i
\(\displaystyle{ r'}\) oznaczają odległości odpowiednio lewego i prawego ogniska tej elipsy od punktu
\(\displaystyle{ \left( x,y\right)}\). Wtedy
\(\displaystyle{ r+r'=2a.}\) Z twierdzenia Pitagorasa mamy:
\(\displaystyle{ N^2+b^2=a^2}\)(suma odległości od ognisk do skrajnego górnego punktu tej elipsy wynosi
\(\displaystyle{ 2a}\), więc, ponieważ elipsa jest symetryczna względem osi
\(\displaystyle{ OY}\), więc ta przeciwprostokątna tego trójkąta jest równa
\(\displaystyle{ \frac{2a}{2}=a}\)). Dalej, z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \left( r'\right) ^{2}=\left( N-x\right) ^{2}+ \left( 0-y\right) ^{2}=\left[ -\left( x-N\right) \right] ^{2}+\left( -y\right) ^{2}=\left( x-N\right) ^{2}+y ^{2}}\).
I podobnie:
\(\displaystyle{ r^2=\left[ x-\left( -N\right) \right] ^{2}+\left( y-0\right) ^{2}= \left( x+N\right) ^{2}+y^2.}\)
A zatem:
\(\displaystyle{ \left( r'\right) ^{2}-r^2=\left( x-N\right) ^{2}- \left( x+N\right) ^{2}=-4Nx.}\)
Ale ponieważ
\(\displaystyle{ r+r'=2a}\), więc:
\(\displaystyle{ \left( r'\right) ^{2}-r^2= \left( r'+r\right)\left( r'-r\right)=\left( r'-r\right) \cdot 2a.}\)
A zatem:
\(\displaystyle{ r'-r= \frac{-4Nx}{r'+r}= \frac{-4Nx}{2a}= \frac{-2Nx}{a},}\) i:
\(\displaystyle{ r'=r- \frac{2Nx}{a}.}\)
I dalej:
\(\displaystyle{ r=2a-r'=2a-\left[ r- \frac{2Nx}{a} \right]}\), i:
\(\displaystyle{ r=a+ \frac{Nx}{a}}\).
A zatem:
\(\displaystyle{ r'=r- \frac{2Nx}{a}=a- \frac{Nx}{a}.}\)
Ponieważ:
\(\displaystyle{ \left( r'\right) ^{2}=\left( x-N\right) ^{2}+y^2,}\)
więc:
\(\displaystyle{ \left( x-N\right) ^{2}+y^2=\left( r'\right) ^{2}=\left[ a- \frac{Nx}{a} \right] ^{2}}\),
i dalej, rozwijając kwadraty:
\(\displaystyle{ x^2+N^2-2Nx+y^2=a^2+ \frac{N^2x^2}{a^2}-2a\left( \frac{Nx}{a} \right)}\),
co po uproszczeniu daje:
\(\displaystyle{ x^2+N^2+y^2-a^2= \frac{N^2x^2}{a^2};}\)
podstawiając
\(\displaystyle{ N^2:=a^2-b^2}\), otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x^2+\left( a^2-b^2\right)+y^2-a^2= \frac{\left( a^2-b^2\right)x^2 }{a^2},}\)
co po prostych przekształceniach daje:
\(\displaystyle{ y ^{2}-b^2=- \frac{b^2x^2}{a^2}}\),
i dzieląc tą równość stronami przez
\(\displaystyle{ b^2}\) (mamy
\(\displaystyle{ b \neq 0}\)) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{y^2}{b^2}-1=- \frac{x^2}{a^2}}\), czyli:
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1.}\)
To nie koniec- wykazaliśmy jedynie, że każdy punkt elipsy spełnia jej równanie, a dolna połowa elipsy też ma taką własność, choć nie jest to cala elipsa. Musimy zatem wykazać, że jeśli weźmiemy punkt spoza elipsy to on
nie będzie spełniał jej równania. Aby to wykazać, to zauważmy najpierw, że początek płaszczyzny
\(\displaystyle{ \left( 0,0\right)}\) nie spełnia równania elipsy, bo:
\(\displaystyle{ \frac{0^2}{a^2}+ \frac{0^2}{b^2}=0 \neq 1.}\)
Jeśli zaś
\(\displaystyle{ \left( x,y\right) \neq \left( 0,0\right)}\), to oznaczając przez
\(\displaystyle{ S_{\left( c,d\right) }}\) elipsę o środku symetrii w początku układu i o półosiach
\(\displaystyle{ c,d>0}\), to przypomnijmy, że wtedy rodzina:
\(\displaystyle{ \mathbb{B}=\left\{ S _{\left( ka,kb\right)\Bigl| \ \ k \in \RR _{+} } \right\}}\)
jest rozkładem zbioru
\(\displaystyle{ \RR ^{2} \setminus \left\{ \left( 0,0\right) \right\}}\) na elipsy.
A zatem
\(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}=\RR^2 \setminus \left\{ \left( 0,0\right) \right\}}\), a zatem
\(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in S _{\left( ka,kb\right) }}\), gdzie
\(\displaystyle{ k \in \RR_+.}\) Ponieważ
\(\displaystyle{ S _{\left( ka,kb\right) }}\) jest elipsą, a wiemy już, że każdy punkt elipsy spełnia jej równanie (dla ścisłości: nie powinniśmy kontynuować tutaj tego, tylko powinniśmy podsumować pierwszą część dowodu pisząc, że dla
dowolnej elipsy każdy jej punkt spełnia jej równanie, a następnie należałoby wziąć na nowo jeszcze raz dowolną elipsę, i dopiero wtedy przejść do tej drugiej części tego dowodu... mam nadzieję, że wybaczycie mi tą niezręczność...), więc:
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{\left( ka\right)^2 }+ \frac{y^2}{\left( kb\right) ^{2} }=1.}\)
Jeśli
\(\displaystyle{ k=1,}\) to
\(\displaystyle{ ka=a}\) i
\(\displaystyle{ kb=b}\),
a więc otrzymujemy naszą elipsę o której wiemy, że każdy jej punkt spełnia jej równanie.
Jeśli
\(\displaystyle{ k>1}\), to
\(\displaystyle{ k ^{2}>1}\), a zatem:
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}> \frac{x^2}{k^2a^2}+ \frac{y^2}{k^2b^2}=1,}\)
a więc punkt
\(\displaystyle{ \left( x,y\right) }\) nie spełnia równania elipsy.
Jeśli zaś
\(\displaystyle{ k<1}\), to:
\(\displaystyle{ 1>k>0}\), a zatem:
\(\displaystyle{ 1>k^2>0}\), a zatem:
\(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}< \frac{x ^{2} }{k^2a^2}+ \frac{y^2}{k^2b^2}=1,}\)
a więc również punkt
\(\displaystyle{ \left( x,y\right) }\) nie spełnia równania elipsy.
Otrzymujemy zatem, że elipsa
\(\displaystyle{ S _{\left( a,b\right) } }\) jest zbiorem dokładnie tych punktów płaszczyzny, które spełniają jej równanie, i:
\(\displaystyle{ S _{\left( a,b\right) } =\left\{ \left( x,y\right) \in \RR ^{2}: \ \ \frac{x^2}{a ^{2} }+ \frac{y^2}{b^2}=1\right\}.\square}\) 
) w prosty sposób?? 
