Twierdzenie Blaschkego

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że z każdego nieskończonego zbioru krzywych wypukłych wspólnie ograniczonych można wyjąć ciąg zbieżny do krzywej wypukłej.

[Janusz Tracz]

Skojarzenie:    

Brzmi jak twierdzenie Arzelà–Ascoli'ego. Wspólne ograniczenie jest z założenia. Pozostaje więc pokazać, że taki zbiór jest równo ciągły. Funkcje wypukłe są lokalnie Lipschitz, gdyby takie funkcje były określone na zwartym zbiorze to lokalność by się poprawiła do pełnej Lipschitzowskości. Ale to i tak mało bo stała Lipschitza może nie być ograniczona. Ale pewnie źle to interpretuję i zakładam za dużo tam, gdzie nie trzeba, a za mało tam, gdzie trzeba. Poza tym to krzywe, a ja o funkcjach myślę (choć jedno z drugim jest kompatybilne dzięki https://en.wikipedia.org/wiki/Support_function support function).

Możnaby zacząć od lematu.

Niech \(\displaystyle{ \mathcal{C}}\) będzie rodziną wypukłych, domkniętych i ograniczonych (\(\displaystyle{ \subset B(0,R)}\)) podzbiorów \(\displaystyle{ \RR^n}\). Wtedy rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{F}:=\left\{ f_C: C\in\mathcal{C} \right\} }\), gdzie \(\displaystyle{ f_C(x)=\sup\left\{ \left\langle x,c \right\rangle : c\in C \right\} }\) jest równociągła. Wystarczy wykazać, że są to funkcje z jednostajną stałą Lipschitza. Dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in\RR^n}\) oraz \(\displaystyle{ C\in\mathcal{C}}\) mamy

\(\displaystyle{
\begin{split}
\left| f_C(x)-f_C(y)\right| & = \left| \sup\left\{ \left\langle x,c \right\rangle : c\in C \right\} -\sup\left\{ \left\langle y,c \right\rangle : c\in C \right\} \right| \\
& \le \sup\left\{ \left| \left\langle x,c \right\rangle - \left\langle y,c \right\rangle \right| : c\in C \right\} \\
& \le \sup\left\{ \left| \left\langle x- y,c \right\rangle \right| : c\in C \right\} \\
& \le R \|x-y\|.
\end{split}
}\)

Więc dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) kładąc \(\displaystyle{ \delta=\epsilon/R}\) dostaniemy implikację, iż \(\displaystyle{ \|x-y\| \le \delta}\) gwarantuje \(\displaystyle{ \left| f_C(x)-f_C(y)\right| \le \epsilon}\).

Ponadto \(\displaystyle{ R}\) jest ograniczeniem \(\displaystyle{ \|f_C\|_{C(\RR^N,\RR)}}\)

Zatem założenie twierdzenia Arzeli-Ascolego są spełnione. Zawsze istnieje więc podciąg zbieżny (jednostajnie). Jednostajne zbieganie support-funkcje może implikują zbieżność w sensie Kuratowskiego tych zbiorów. Nie wiem. Nie rozumiem zadania.

[a4karo]

Funkcja wypukła na zbiorze domkniętym nie musi być ciągła

Dodano po 1 godzinie 15 minutach 51 sekundach:
A w przypadku funkcji na `\RR` każda funkcja wypukła i ograniczona jest stała, więc zadanie jest trywialne

[timon92]

przypomnijmy, że przestrzeń \(K(B(0,1)) = \{K \subset B(0,1) \colon \text{$K$ jest zwarty}\}\) wyposażona w metrykę Hausdorffa \(d_H\) (tj. \(d_H(K,L)=\max(\inf\{\varepsilon>0 \colon L \subset K+B(0,\varepsilon)\}, \inf\{\varepsilon>0 \colon K \subset L+B(0,\varepsilon)\})\) jest zwartą przestrzenią metryczną (symbolem \(B(x,r)\) oznaczam koło domknięte o środku \(x\) i promieniu \(r\), a \(+\) oznacza sumę Minkowskiego zbiorów)

należy wykazać, że zbiór \(A = \{K\in K(B(0,1)) \colon \text{$K$ jest wypukły}\}\) jest zwartym podzbiorem \(K(B(0,1))\)

w tym celu wystarczy udowodnić, że \(A\) jest domkniętym podzbiorem \(K(B(0,1))\)

pokażemy, że dopełnienie \(A\) jest otwarte

jeśli \(K\notin A\), to \(K\) nie jest wypukły, czyli istnieją \(x_1,x_2\in K\) i punkt \(x \notin K\) na odcinku \(x_1x_2\), wtedy ze zwartości \(K\) wynika, że istnieje \(\varepsilon>0\) taki, że koło \(B(x,\varepsilon)\) jest rozłączne z \(K\)

wtedy kula \(\{L \colon d_H(K,L)<\varepsilon\}\) w \(K(B(0,1))\) jest rozłączna z \(A\) (jeśli \(L\) należy do tej kuli, to istnieją \(y_1, y_2\in L\) i \(y\notin L\) takie, że \(y_1\in B(x_1,\varepsilon)\), \(y_2\in B(x_2,\varepsilon)\), \(y\in B(x,\varepsilon)\) i \(y\) leży na odcinku \(y_1y_2\), zatem zbiór \(L\) nie jest wypukły)