Zbieżność szeregu odwrotności liczb pierwszych

[c-rasz]

Temat ma lat... dwadzieścia, ale mi w Google wyskoczył, a że mnie interesuje, to wznawiam.

Pierwszy dowód, dotyczący zagadnienia, przeprowadził Euler, który wykazał, że szereg odwrotności L. pierwszych jest rozbieżny.

Nie mam takich zdolności jak Euler, więc zagadnienie ugryźć postanowiłem nie analitycznie, lecz numerycznie.
No i wychodzi mi, że w dowodzie Eulera MUSI tkwić... błąd! Bo modelowanie cyfrowe, choć ograniczone ilością użytych liczb pierwszych, daje na tyle silne wskazanie przeciwne, że wydaje się absolutnie wiarygodne:
szereg odwrotności L. pierwszych jest ZBIEŻNY!

Garść technikaliów:
1. dla elastyczności i wygody, oraz z perspektywą innych jeszcze zastosowań, użyłem Excela.
2. Z powodów oczywistych nie badałem więc zagadnienia dla nieskończonego zbioru, ale jednak dość dużego: 10 tysięcy początkowych L. pierwszych, od 2, do 104 729
Acz w pierwszy podejściu zacząłem ZNACZNIE skromniej, od próbki 1024 kolejnych L. pierwszych. Wskazania były niejednoznaczne, lecz na tyle zachęcające, że powiększyłem zakres dziesięciokrotnie, z intuicją, że... Że wiem, iż szereg zbiega, i to do liczby wielce znaczącej.
3. No i otrzymałem potwierdzenie o wiarygodności 0,99668 a więc pomyłka jest NIEMAL wykluczona.
4. Rozwiązanie ma swoistą pikanterię, bowiem dotyczy niemal ewidentnego błędu Eulera, zaś otrzymana, wspomniana liczba — nosi jego imię!
5. Dodam, że Google-kwerenda ujawniła kilkanaście osób, które przedstawiły swoje, analogiczne dowody, raczej od eulerowego niezależne, niektórzy nawet w pracach doktorskich. No i teraz będzie się trzeba wytłumaczyć!

Ponieważ dowód nie jest analityczny, lecz numeryczny (ale z wiarygodnością przekonującą), to arkusz jest podlinkowany w moim krótkim doniesieniu "o sprawie", dostępnym tu:
c-rasz.gpe.pl/pub03/r-primes.html

Ponieważ ma to spore znaczenie dla teorii liczb pierwszych, a w dodatku z posmakiem sensacji (nie zaprzeczycie chyba), to liczę na to, że rzecz puścicie dalej, linkując tym znajomym, którzy interesują się L. pierwszymi.
Z góry dziękuję!
Na górę

[Hir]

Przeczytaj najpierw https://maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Guy697-712.pdf, a potem "idź się wyspowiadaj z tego pomysłu"

[c-rasz]

16 stron. Hm. O który fragment Ci chodzi?

No i w ogóle O CO Ci biega?

[Lorek]

4. Rozwiązanie ma swoistą pikanterię, bowiem dotyczy niemal ewidentnego błędu Eulera, zaś otrzymana, wspomniana liczba — nosi jego imię!

Jeśli masz na myśli liczbę Eulera, to mam dla ciebie złą wiadomość: suma odwrotności pierwszych 50 000 liczb pierwszych jest większa od 2,85:
https://www.wolframalpha.com/input?i=sum%281%2Fprime%28n%29%2C1%2C50000%29

[c-rasz]

Kolego Lorek, dziękuję za podpowiedź, przyda się!
Lecz coś u Wolframa nie halo, serwery kolejno się wykrzaczają, jeden po drugim. No i dogadać się nie idzie.
Zerknąłeś w ten mój excelowy arkusz? Warto zachować, przydatny do badań nad prawidłowościami wśród pierwszych 10 000 L. pierwszych...

[Hir]

Możesz liczyć na swoim komputerze (być może nawet w Excelu). Niech \(\displaystyle{ P = \{p \in [2, 10^6] : p \textrm { jest pierwsze}\}}\). Wtedy

\(\displaystyle{ \sum_{p \in P} \frac{1}{p} = 2.88732 80995 \ldots > e = 2.71828 18284\ldots}\).

[c-rasz]

Cóż, wpierw dotarłem do 10 tys.
Teraz pobrałem kolejne, w sumie 20 480 ze strony Arizony: cs.arizona.edu (sporo błędów, musiałem sprawdzać, i poprawiać)

Cóż, potwierdziło się, o czym piszę tu:
https://www.c-rasz.gpe.pl/pub03/r-primes.html
przyznając do pomyłki. Ale co za przypadek wprost nieprawdopodobny! Zatrzymałem się na 10 000 L. pierwszych, a kolejny tysiąc już by mnie wyprowadził z błędu. Przyznać musicie, że gdy doszedłem do liczby Eulera z dokładnością 3.32 promila, to przypadek wydawał się praktycznie wykluczony, tedy poniekąd jestem jakoś usprawiedliwiony.

Efekty kilku godzin pracy, czyli przydatne zestawienie PONUMEROWANYCH L. pierwszych, wraz z kilkoma testami ich właściwości, ten mój arkusz w Excelu WWyWiesiłem tu:
https://www.c-rasz.gpe.pl/pub03/Primes20k.xls
warto pobrać "do zabawy" w temacie badania L. pierwszych, polecam!

Dodano po 1 godzinie 8 minutach 10 sekundach:
Ułożony arkusz dał mi możliwość wglądu w kilka cech, które arkusz liczył, przede wszystkim frekwencję L. pierwszych, określał ich gęstość w przedziale zadanym.
Technikalia: Aby wyeliminować nadmierne skoki, gęstość liczyłem z odległości pomiędzy liczbą badaną, a tą 64 numerki wstecz, i dzieliłem przez 64

Zdziwienie moje wzbudza to, że ich gęstość bynajmniej nie maleje zbyt szybko, a spodziewałem się, że będzie to spadek naprawdę spory. Tak nie jest, co zapewne wprowadziło mnie w błąd co do zagadnienia omawianego w poprzednich wpisach w tym topic'u

Kto zerknie do arkusza zobaczy, że już przy jego końcu, czyli gdy zbliżamy się do L. pierwszych o numerach bliskich 20 tysięcy, to owa gęstość nie sięga 1/13 — czyli że STATYSTYCZNIE mniej niż 12 (z hakiem) liczb złożonych rozdziela kolejne pierwsze. Warto wiedzieć!

Jako ciekawostkę, może ktoś nie wie, podam fakt, że L. pierwsze występują "krokiem konika szachowego":
kolejne rozdzielone są tak, że występują ze skokiem w dwutakcie: 2; 4; 2; 4; 2; 4 etc. To znaczy MOGĄ, ale nie muszą, of course. Tym niemniej "pomiędzy" są wyłącznie L. złożone
Dlatego prócz zagadnienia niewątpliwie ciekawego, czyli L. bliźniaczych, jest analogiczne, i niemniej ciekawe zagadnienie L. "czworaczych", czyli odległych o 4
A nawet i szóstaczych, ósmaczych etc. etc...

Jestem głęboko przekonany, że i jednych, i drugich, a także dalszych — jest nieskończenie wiele. Zresztą dawno temu opublikowałem na usenetowej grupie p.s.matematyka mocny dowód słabego twierdzenia wskazującego, że:
"potrzeba nieskończonej ilości >przeszkód<, by uniemożliwić pojawianie się liczb bliźniaczych w nieskończoność"

Jeśli ktoś interesuje się tym zagadnieniem, mogę temat rozwinąć...

[Jan Kraszewski]

Ale co za przypadek wprost nieprawdopodobny! Zatrzymałem się na 10 000 L. pierwszych, a kolejny tysiąc już by mnie wyprowadził z błędu. Przyznać musicie, że gdy doszedłem do liczby Eulera z dokładnością 3.32 promila, to przypadek wydawał się praktycznie wykluczony,

W Twoim wypadku mogło się tak wydawać, ale osoba zawodowo zajmująca się matematyką raczej nie popełniłaby takiego błędu.

Jeśli ktoś interesuje się tym zagadnieniem, mogę temat rozwinąć...

Nie wiem, czy kogoś to interesuje, ale jak chcesz rozwijać, to nie w tym temacie. Załóż sobie swój.

JK

[c-rasz]

Cóż, zawodowiec wie, bo mu powiedziano, że ten szereg jest rozbieżny.
Ja zawodowcem nie jestem, dlatego zacząłem to badać tak, jak umiałem. Czy dlatego uważasz mnie za głupka?

Relacje pomiędzy amatorami, a zawodowcami, w różnych zresztą dziedzinach, dość dobrze charakteryzuje pewne dość znane powiedzenie, o tych, co robią rzeczy niemożliwe, bo że takimi one są — nie wiedzą!

Fachowców grono
w szkołach uczono
że to jest prawdziwe
iż coś-tam, coś-tam
⁣ ⁣ ⁣ ⁣ — jest... niemożliwe.

Aż taki się rodzi
że wiedza — nie szkodzi
(mu) outsider tak zwany
człek nie-doinformowany

Nie uczył się "rzeczy"
kanonom jej przeczy
i to "niemożliwe"
uzna za prawdziwe

Bo on myśli inaczej
nooo, myśli,
⁣ ⁣ ⁣ ⁣ — oni zaś raczej
(nawyk-to zawodowy)
gdy wbito im w głowy
algorytm gotowy
to święcie mu wierzą
żadną więc myślą swą świeżą
nie będą Nauki w przód "gonić"
zazwyczaj więc są to
⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ — epigoni...

W szkołach im coś-tam kładziono
a czasem: zatruty był owoc!

[Jan Kraszewski]

Cóż, zawodowiec wie, bo mu powiedziano, że ten szereg jest rozbieżny.

Nie, zawodowiec wie, że wnioskowanie o granicy ciągu na podstawie jego 10000 początkowych wyrazów jest nieuprawnione.

Ja zawodowcem nie jestem, dlatego zacząłem to badać tak, jak umiałem. Czy dlatego uważasz mnie za głupka?

Nie, skąd ten pomysł? Uważam Cię za zapaleńca, któremu zabrakło trochę samokrytycyzmu. Ja na przykład jak nie znam się na czymś, to staram się nie wypowiadać autorytatywnie na taki temat. Ty zaś z jednej strony popełniasz podstawowy błąd metodologiczny, a z drugiej nawołujesz osoby z doktoratami z matematyki, by się wytłumaczyły ze swoich doktoratów w związku z Twoim "odkryciem".

Ja rozumiem tę romantyczną potrzebę odkrycia czegoś, co umknęło zawodowcom, ale w przeciwieństwie do Ciebie wiem, że to nie jest takie proste (choć, oczywiście, nie jest wykluczone).

JK

[c-rasz]

Cóż, nieuprawnione, ale pomijasz koincydencję na poziomie 3,32 ‰ — ja mam wykształcenie techniczne, jestem chemikiem, ale matematyka pociąga mnie tysiąc razy bardziej, fizyka również. Każdy fizyk (acz kwantowy to już nie) koincydencję wyrażoną kilkoma promilami odległości od celu — uznał by za wystarczającą. Acz kwantowcy z LHC potrzebują potwierdzeń sześciodziewiątkowych, czyli 0,999 999 — promile to dla nich liczby duże...
A tak BTW, jak Ty, jako matematyk, ale w odwołaniu do statystyki, i probabilistyki — na ile byś oszacował prawdopodobieństwo, że takiego wymiaru liczbowego koincydencja jest NIEprzypadkowa, hę?

Cóż, zanim zacząłem to badać na próbce 20 480 L. pierwszych, nie sądziłem, że ich gęstość maleje aż tak powoli! W górnym zakresie badanym, czyli już blisko 20k — nie jest jakoś specjalnie mniejsza niż przy kilkunastu tysiącach. Mówię oczywiście odwołując się do ich numerków, bo je ponumerowałem, rzecz przydatna. Mniej więcej co 12, góra 13 liczba, w tym wysokim wszak diapazonie — jest pierwsza. Oczywiście STATYSTYCZNIE. A ja spodziewałem się, że ich gęstość nie tylko będzie mała, ale że będzie raczej szybko malała, jestem bardzo zaskoczony, że tak nie jest. Ha! Warto było ułożyć ten arkusz, wiele wiedzy można z niego uzyskać, acz teorii liczb to raczej nie popchnie, hłe, hłe...

Dodano po 2 godzinach 22 minutach 1 sekundzie:
Re: Suma odwrotności liczb pierwszych

Możesz liczyć na swoim komputerze (być może nawet w Excelu). Niech \(\displaystyle{ P = \{p \in [2, 10^6] : p \textrm { jest pierwsze}\}}\). Wtedy

\(\displaystyle{ \sum_{p \in P} \frac{1}{p} = 2.88732 80995 \ldots > e = 2.71828 18284\ldots}\).

Cóż, milion L. pierwszych nie jest łatwo skompletować. Bierzesz je z jakiejś bazy danych, czy generujesz sam?

Ktoś tu ma program Wolframa Mathematica? Nadaje się do takich obliczeń?

Czy potrafisz Hir wykonać zadanie jakby odwrotne:
mamy liczbę zadaną, dajmy na to 𝜋
i teraz chcemy się dowiedzieć, ile liczb pierwszych trzeba użyć, aby suma ich odwrotności sięgnęła, a potem przekroczyła liczbę graniczną. Zapewne to już będzie całkiem ich sporo, circa kilkaset milionów...

[Janusz Tracz]

Cóż, nieuprawnione, ale pomijasz koincydencję na poziomie 3,32 ‰ — ja mam wykształcenie techniczne, jestem chemikiem, ale matematyka pociąga mnie tysiąc razy bardziej, fizyka również. Każdy fizyk (acz kwantowy to już nie) koincydencję wyrażoną kilkoma promilami odległości od celu — uznał by za wystarczającą. Acz kwantowcy z LHC potrzebują potwierdzeń sześciodziewiątkowych, czyli 0,999 999 — promile to dla nich liczby duże...
A tak BTW, jak Ty, jako matematyk, ale w odwołaniu do statystyki, i probabilistyki — na ile byś oszacował prawdopodobieństwo, że takiego wymiaru liczbowego koincydencja jest NIEprzypadkowa, hę?

Koincydencja, a szczęśliwy traf to zupełnie inne zjawiska. Ty nie popełniłeś błędu na poziomie 3,32 ‰, tylko po prostu popełniłeś błąd. Porównujesz dość przypadkową liczbę do \(\displaystyle{ e}\). Faktycznie są blisko. Nie ma w tym (jeszcze) nic niezwykłego. Pytanie jaka metodologia za tym stała. To tak jakby przejechać się autobusem numer 40 pomnożyć przez tysiąc bo czemu by nie i stwierdzić, że ziemia ma obwód 40 000 km. Faktycznie mały błąd. Bo obwód to 40 075 km. To nie jest koincydencja. To jest szczęśliwy traf. Tak jak szereg odwrotności liczb pierwszych jest rozbieżny, a Ty zatrzymałeś się w akurat takim momencie (arbitralnie wybranym), że wyszło coś bliskiego \(\displaystyle{ e}\). W rzeczywistości błąd wynosi \(\displaystyle{ \left| \infty -e\right| }\) czyli \(\displaystyle{ \infty }\), a nie 3,32 ‰. Innymi słowy nie ma sensu porównywać wyniku otrzymanego złą metodą do złego założenia.

Ktoś tu ma program Wolframa Mathematica? Nadaje się do takich obliczeń?

Mathematica się do tego nadaje. Pod warunkiem, że odpowiednio interpretuje się wyniki.

ile liczb pierwszych trzeba użyć, aby suma ich odwrotności sięgnęła, a potem przekroczyła liczbę graniczną. Zapewne to już będzie całkiem ich sporo, circa kilkaset milionów...

Istnieje oszacowanie dolne

\(\displaystyle{ \ln \ln(N+1)-\ln {\frac {\pi ^{2}}{6}} \le \sum _{p\leq N}{\frac {1}{p}} }\)

Jeśli chcesz więc mieć pewność, że \(\displaystyle{ \sum _{p\leq N}{\frac {1}{p}}}\) przekroczy dajmy na to \(\displaystyle{ \pi}\) to trzeba brać sumę po wszystkich liczbach pierwszych mniejszych od \(\displaystyle{ N}\), gdzie \(\displaystyle{ N}\) jest takie, że \(\displaystyle{ \ln\ln (N+1)\le \pi+\ln {\frac {\pi ^{2}}{6}}}\) czyli \(\displaystyle{ N \ge e^{e^{\pi+\ln \frac {\pi ^{2}}{6} }} \approx 3,4\cdot 10^{16} }\). Pewnie można to trochę optymalniej zrobić z wykorzystaniem stałej Meissela–Mertensa. Twierdzenie Franciszka Martensa o asymptotyce szeregu odwrotności liczb pierwszych brzmi:

\(\displaystyle{ \sum_{p \leq N} \frac{1}{p} = \ln \ln N + M + O\left( \frac{1}{\log N} \right)}\)

gdzie \(\displaystyle{ M \approx 0.26149721284\dots}\) to pewna stała.

[c-rasz]

Dziękuję kolego Tracz, wypowiedź kompetentna, nawet aż nadto: zrozumiałem tylko część z tego. Cóż, ja techniczny jestem, wyżyny matematycznych arkanów teoretycznych — często mnie przerastają, bez bicia przyznaję...

Widzę z Twoich wyliczeń, że mocno niedoszacowałem, pisząc o setkach milionów, gdy Ty wskazujesz, że chodzi o liczbę (bagatela!) szesnastocyfrową. Czyli kropnąłem się o "głupie" osiem rzędów wielkości.
[ Dygresja on ] Używanie systemu dziesiętnego powinno zostać w matematyce zarzucone, jest nieprzystający do jej zagadnień. Napisałem 8 rzędów wielkości, i oczywiści dotyczy to rzędów decymalnych. Ale sensowne jest jedynie używanie systemu pochodnego od dwójkowego (bo ten jest nieco rozwlekły, czyli mało zwięzły. Nadaje się jedynie do używania w komputerach). Zaś heksadecymalny jest nieco zbyt "skoczny", czyli wraz ze wzrostem o rząd wielkości — wartość liczbowa nadmiernie umyka intuicji wytresowanej na systemie decymalnym. No to chyba ósemkowy byłby niezłym kompromisem, zaś szczególnie że akceptowalnym dla "cywilów", czyli nie-matematyków...
Natomiast do badania prymarności warto stosować zapis w systemie nietypowym, szóstkowym. Wtedy ostatnia cyfra danej liczby jednoznacznie dyskwalifikuje 4/6 liczb, jako złożone, i widać to na pierwszy rzut oka. No, ale kto bada to "na piechotę"... [ Dygresja off ]

Wypisane przez Ciebie wzory wskazują na dużą wiedzę, ciekawi mnie, czy teoria liczb jest Twoim głównym zainteresowaniem, czy uprawiasz jeszcze inne, odległe działki? (matematyki)
Taka uwaga: Wzory, w których użyłeś piętrowych indeksów górnych, a więc znaczki są coraz mniejsze — stają się czytelne dopiero po znacznym powiększeniu strony kręciołkiem myszy wraz z Ctrl , po czym trzeba się z tym "cofać". Stąd prośba: na przyszłość użyj z łaski swojej ze 2 x większej czcionki w takich wypadkach, wszak jest taka możliwość? Acz nie wiem, czy LaTeX się wtedy nie wykrzacza, hę?

[Lorek]

Cóż, zawodowiec wie, bo mu powiedziano, że ten szereg jest rozbieżny.

Zawodowiec w tym temacie to akurat działa jak w tym kawale:
- Wy matematycy jesteście dziwni.
- Udowodnij!

Gdyby matematyka opierała się na tym, że ktoś w coś uwierzył, bo ktoś inny tak powiedział, to daleko by nie zaszła, bo każdy tworzyłby własną matematykę i przekonywał, że jego jest najmojsza. A dowód na rozbieżność szeregu odwrotności liczb pierwszych jest na poziomie studiów, więc dla kogoś, kto chce pogrzebać w tym temacie to powinna być podstawa.

Możesz liczyć na swoim komputerze (być może nawet w Excelu)

Jak ostatnio używałem excela do zagadnienia związanego z "dużymi" liczbami, to "dowiedziałem" się, że 999999999999999 jest liczbą parzystą, więc nie polecam

Ktoś tu ma program Wolframa Mathematica? Nadaje się do takich obliczeń?

Mathematica zdaje się darmowa nie jest, ale zawsze możesz spróbować z jakimś językiem programowania z bibliotekami matematycznymi.

Ogólnie rzecz biorąc fajnie, że zainteresowałeś się tematem, ale tak jak Jan Kraszewski napisał więcej pokory, samokrytyki i chęci ogarnięcia podstaw, bo z podejściem "ja wiem lepiej" daleko nie zajdziesz. Już nieraz pojawiali się tacy, którzy "odkryli coś wielkiego", ale poza pokrzykiwaniem przez kilka dni, że to oni mają rację, a wszyscy inni się mylą, nic nie wynikło.

[Janusz Tracz]

Wypisane przez Ciebie wzory wskazują na dużą wiedzę, ciekawi mnie, czy teoria liczb jest Twoim głównym zainteresowaniem, czy uprawiasz jeszcze inne, odległe działki?

Dużą wiedzę to miał Euler oraz Franciszek Martens jak te wzory udowadniali. Ja teorią liczb i się nie zajmuję. Zawód syn. A jedyną działką jaką uprawiałem była działka rolna, a i tak dostałem miałem mało odpowiedzialne zadanie, bo miałem tylko ryć w ziemi aby ją przekopać.

Taka uwaga: Wzory, w których użyłeś piętrowych indeksów górnych, a więc znaczki są coraz mniejsze

Jestem w stanie się z tym nawet zgodzić. Ba myślałem nawet aby napisać \(\displaystyle{ \exp\Big(\exp \Big(\pi + \ln \frac{\pi^2}{6}\Big) \Big)}\). Jednak oprócz zalet jest też kilka wad i przeciwskazań

• Stosowanie takiego zapisu ogranicza grono odbiorców bo nie każdy wie co to jest \(\displaystyle{ \exp}\).

• Estetyka zapisu jest kwestią subiektywną, jednak w matematyce istnieje pewien niepisany konsensus dotyczący tego, jak formułować wyrażenia, aby były czytelne. Imho matematycy tu zebrani demokratycznie by nie narzekali na taki zapis, w związku z tym ten zapis jest akceptowalny.

A poza tym wielskość tekstu zależy też od wielkości ekranu, u mnie widać.