Funkcja ciągła - dowód lub kontrprzykład.

[Mlodsza]

\(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}}\)

\(\displaystyle{
\forall \theta >1 }\) funkcja \(\displaystyle{ g(x)= f(x)+f(\theta x)}\) jest ciagla w kazdym rzeczywistym \(\displaystyle{ x}\).

Nalezy rozstrzygnac, czy z tego wynika, ze funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciagla na calej osi. Jesli tak - udowodnic, jesli nie - podac kontrprzyklad.

Kontrprzyklady nie wychodza, wydaje sie, ze \(\displaystyle{ f}\) jest ciagla. Prosilabym o lekka wskazowke.

[Dasio11]

Wskazówka: zapisz \(\displaystyle{ f}\) jako kombinację liniową funkcji ciągłych.

[Mlodsza]

Dzieki, ale moj leb tego nie ogarnia. Probowalam tez przez jednostajna zbieznosc - fiasko. Dlatego prosilabym o wskazowke nr 2.

[Dasio11]

Wskazówka 2:    

Czy funkcja \(\displaystyle{ f(2x) + f(3x)}\) musi być ciągła?

Wskazówka 3:    

Czy da się zapisać \(\displaystyle{ u}\) jako kombinację liniową \(\displaystyle{ u+v}\), \(\displaystyle{ u+w}\), \(\displaystyle{ v+w}\)?

Wskazówka 4:    

\(\displaystyle{ u = f(x)}\), \(\displaystyle{ v = f(2x)}\), \(\displaystyle{ w = f(3x)}\)