matematyk.
Francuski matematyk François Viete ( 1540 - 1603 r.)
(lub też w innej formie: Vieta). Gdzieś do około XVII wieku było wielu „matematyków -
"nie matematyków”. Są to więc między innymi Cardano, Tartaglia oraz
Desargues, Pacioli jak też i Mersenne czy Fermat…. i F. Vieta.
Viète miał wiele wyników z zakresu metod algebry w geometrii oraz teorii równań;
F. Vieta urodził się w Fontenay-le-Comte (zachodnia Francja) i tam też ukończył nauki by następnie zostać adwokatem a potem radcą parlamentu w Bretanii (nominacja króla Karola IX). Viete interesował się astronomią oraz matematyką. Dzięki protekcji jednej ze swoich wpływowych uczennic - madame Parthenay; przeniósł się w 1571 r. do Paryża i otrzymał stanowisko na dworze króla Henryka III. Miało to miejsce w okresie wojen wewnętrznych we Francji w które wmieszana była Hiszpania.
Wtedy to Viète złamał tajny szyfr, jakim posługiwał się król Hiszpanii Filip II. (gdy ten dowiedział się o tym, wniósł zarzut, iz użyto przeciwko niemu czarów, ufając iż jego szyfr jest „nie do złamania”!). Sukces ten sprawił, iż Viète awansował i stał się doradcą króla Henryka III (zatrudniony został w tajnej królewskiej kancelarii). Od 1584 r. Viète odsunął się od spraw „wielkiej polityki” , mając tym samym więcej sposobności do uprawiania matematyki.
Nie wszystkie wyniki, jakie uzyskał Viète zostały za jego życia opublikowane, większość z nich krążyła raczej „w prywatnym obiegu” dostępna dla wąskiej grupy osób. Dopiero duński matematyk Franciscus van Schooten zebrał je i opublikował w pracy pod tytułem Opera Mathematica (1646 r.).
Wielomian symetryczny podstawowy wyraża lewa strona wzorów Vièty:
\(\displaystyle{ \sum\limits_{1 \leq i_1 < ..... < i_k \leq n} x_{i_1} .... x_{i_k} =(-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n}}\) dla \(\displaystyle{ k=1, ,,,, n}\)
gdy \(\displaystyle{ \sum\limits_{j=0}^n a_jx^j =a_n(x - x_1)….(x - x_n)}\)
(w najprostszym przypadku pierwiastki \(\displaystyle{ x_1, x_2}\) równania \(\displaystyle{ ax^2+bx+c=0}\) są takie, że \(\displaystyle{ x_1+ x_2 = -\frac{b}{a}}\) oraz \(\displaystyle{ x_1 x_2 = \frac{c}{a}}\) )
Jednakże już np. w przypadku równania stopnia czwartego \(\displaystyle{ a_4x^4+ a_3x^3+ a_2x^2+ a_1x+a_0 =0}\), gdzie \(\displaystyle{ a_4 \neq 0}\), mającego pierwiastki \(\displaystyle{ x_1, x_2, x_3, x_4}\) (niekoniecznie różne), wzory te przyjmą ciekawszą formę:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1x_2x_3x_4=\frac{a_0}{a_4}\\x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4+ x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4 = -\frac{a_1}{a_4}\\x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+ x_2x_4 + x_3x_4=\frac{a_2}{a_4}\\x_1 + x_2 + x_3 +x_4= \frac{-a_3}{a_4}\end{cases}}\)
Sytuację, gdy równanie trzeciego stopnia ma trzy pierwiastki rzeczywiste i konieczne jest przejście przy jego rozwiązywaniu przez liczby zespolone, zamienia przez podstawienie trygonometryczne na inny, co prawda, problem (niealgebraiczny), ale już użycia liczb zespolonych nie wymagający. Warto jeszcze przytoczyć rozwiązanie zadania postawionego w 1593 przez Adriaena van Roomena: rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ x^{45}- 45x^{43}+945x^{41} – 12300x^{39}+ … - 3795x^3 + 45x=A}\)
Nie przytoczyłem tego zadania w całości, ale też Viète wcale go w całości nie przeczytał - jego rozumowanie było (mniej więcej) takie: Roomen nie może wiedzieć niczego rozsądnego o równaniach tak wysokich stopni, zatem nie chodzi o równanie algebraiczne; musi więc być to równanie trygonometryczne, sprawdźmy zatem po kolei wzory na funkcje \(\displaystyle{ 45\alpha}\)… i już:
\(\displaystyle{ x=\sin \frac{\arcsin A}{45}}\)
źródło *
(liczba \(\displaystyle{ A}\) była długością boku \(\displaystyle{ 45}\) kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu \(\displaystyle{ 1}\), tj. \(\displaystyle{ A= \sqrt{\frac{7}{4} - \sqrt{\frac{5}{6}} - \sqrt{ \frac{15}{8}} - \sqrt{\frac{45}{64}} }}\)
Największe zasługi w dziedzinie wprowadzenia do algebry pełnego rachunku literowego ma francuski matematyk Vieta. Oznacza on niewiadome dużymi samogłoskami A, E, I, … a wielkości znane spółgłoskami B, C, D … Łącząc je znakami poszczególnych działań dochodzi do języka algebraicznego wprawdzie niezbyt wygodnego, ale w zupełności zadowalającego ówczesne potrzeby. Należy zaznaczyć, że również Vieta, mimo dużych osiągnięć w zakresie równań, odrzucał rozwiązania ujemne.
W 1637 wydał Descartes (Kartezjusz) swoje znakomite dzieło G e o m e t r i a , które dało początek tzw. geometrii analitycznej i stało się później podstawą bujnego rozwoju analizy matematycznej. Descartes oznacza już niewiadome x, y, z, u, v, … upraszcza znacznie symbolikę Viety i chociaż nazywa liczby ujemne „fałszywymi” , stosuje je bez ograniczeń przy rozwiązywaniu równań i (z małymi ograniczeniami) w geometrii analitycznej. źródło **
Tak więc niewątpliwie największą zasługą Vièty było udoskonalenie symboliki literowej przy oznaczaniu niewiadomych, oraz wynajdywanie nowych metod rozwiązywania równań (doskonaląc te jakie już wcześniej wymyślili Cardano i Tartaglia); Tak więc np. w równaniu \(\displaystyle{ z^3 - a^3 = az}\) wg. rozumienia Vièty \(\displaystyle{ a}\) było niewiadomą, zaś \(\displaystyle{ z}\) traktował jako znaną (zadaną) wielkość. Wyrażenie \(\displaystyle{ a^3}\) zapisywał „a qubus” lub też „a q”. Viète poszukiwał też własnych metod przybliżonego wyznaczania pierwiastków równań, oraz związków między współczynnikami równania a jego pierwiastkami.
W zakresie geometrii Vièta rozwiązał zagadnienie okręgu Apoloniusza tj. za pomocą cyrkla i linijki skonstruował okrąg styczny do trzech danych okręgów. Przybliżając okrąg ciągiem wielokątów obliczył też wartość liczby \(\displaystyle{ \pi}\) z dokładnością aż do 18 cyfr dziesiętnych. Rozwiązał też zadanie o obliczaniu wszystkich elementów trójkąta płaskiego i sferycznego, gdy dane są trzy spośród nich. Stosował sprytne podstawienia jak i wzory trygonometryczne, co posłużyło mu do sprawnego radzenia sobie z równaniami; chcąc np. rozwiązać:
\(\displaystyle{ x^3 - 3x+ 1=0}\), które można zapisać \(\displaystyle{ 3x - x^3=1}\)
użył podstawienia \(\displaystyle{ x=2y}\) by uzyskać \(\displaystyle{ 3y - 4y^3 = \frac{1}{2}}\)
A skoro \(\displaystyle{ \sin (3\alpha)= 3\sin (\alpha) - 4\sin ^3(\alpha)}\) więc gdy \(\displaystyle{ y= \sin (\alpha)}\), to
\(\displaystyle{ \sin (3 \alpha)= \frac{1}{2}}\), tj. \(\displaystyle{ \alpha= 10^{o} + \frac{2k\pi}{3}}\) dla \(\displaystyle{ k= 0, \pm 1, \pm 2, ….}\); czyli
\(\displaystyle{ x=2\sin \left( 10^{o} + \frac{2k\pi}{3} \right)}\) stąd rozwiązania:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1=1, 532...\\x_2=- 1,879...\\x_3=0,347...\end{cases}}\)
oczywiście np. \(\displaystyle{ x_1 + x_2 +x_3 =0}\) (wzory Vièty ! )
W równania sześciennym typu \(\displaystyle{ x^3 + 3B^2 x =2Z^3}\) (*) (szukane jest \(\displaystyle{ x}\), zaś \(\displaystyle{ B}\) oraz \(\displaystyle{ Z}\) są znane), wprowadził tu zmienną \(\displaystyle{ y}\) taka, że \(\displaystyle{ y(y+x)=B^2}\) i wtedy uzyskał (po uproszczeniach): \(\displaystyle{ y^6 + 2Z^3y^3 = B^6}\); jest to równanie kwadratowe, z którego można łatwo wyliczyć \(\displaystyle{ y^3}\) (a więc i \(\displaystyle{ y}\)), a w efekcie też \(\displaystyle{ x}\) bo \(\displaystyle{ x = \frac{B^2 - y^2}{y}}\).
(*) wobec niejednakowego traktowania liczb dodatnich i ujemnych równanie sześcienne było często zapisywane w formie \(\displaystyle{ x^3+ px =q}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) oraz \(\displaystyle{ q}\) były dodatnie.
Viète jako pierwszy badał iloczyny nieskończone i wynalazł wzór:
\(\displaystyle{ \frac{2}{\pi} = \sqrt{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{ \frac{1}{2}} } \sqrt{\frac{1}{2} +\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{ \frac{1}{2}} } } ... \approx 0,63}\)
zauważając iż iloczyn ten wyraża \(\displaystyle{ \cos \left( \frac{\alpha}{4} \right) \cos \left( \frac{\alpha}{8} \right) \cos \left( \frac{\alpha}{16} \right) ....}\) i w związku z tym można go “zwinąć”… (a więc znów zgrabne użycie metod trygonometrii !)
Uogólnieniem jest wzór \(\displaystyle{ \prod\limits_{n=1}^{\infty} \cos \left( \frac{t}{2^n} \right) = \frac{\sin (t)}{t}}\) dla \(\displaystyle{ 0 < t < \pi}\); gdy \(\displaystyle{ 2t=\pi}\) daje wzór Vièty.
Na polu trygonometrii znalazł on też wzory na \(\displaystyle{ \cos (nx)}\) i \(\displaystyle{ \sin (nx)}\) jako funkcję zmiennych \(\displaystyle{ \cos (x)}\) oraz \(\displaystyle{ \sin (x)}\) , mimo iż dokładny ich dowód podał dopiero Johann Bernouuli ok. 1702 r.; to Viète obliczał je już dużo wcześniej; choć jedynie dla małych stosunkowo wartości \(\displaystyle{ n}\), korzystając z rekurencji:
\(\displaystyle{ \cos (nx) =2\cos (x)\cos ((n-1)x) - \cos ((n-2)x)}\)
która wynika z tego iż:
\(\displaystyle{ \cos (u) + \cos (v)=2\cos \left( \frac{u +v}{2} \right) \cos \left( \frac{u - v}{2} \right) }\) ; dla
\(\displaystyle{ \begin{cases} u= nx\\ v= (n-2)x \end{cases}}\)
):
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos (2nx)=\sum\limits_{k=0}^{n} {2n \choose 2k} (-1)^{k} \cos ^{2(n-k)}(x) \sin ^{2k}(x) \\ \cos (2n+1)x=\cos (x) \sum\limits_{k=0}^{n} {2n+1 \choose 2k} (-1)^{k} \cos ^{2(n-k)}(x) \sin ^{2k} (x) \end{cases}}\)
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Viete.html http://www.matematycy.interklasa.pl/biografie/matematyk.php?str=vietehttp://www.encyclopedia.com/topic/Francois_Viete.aspx
