Relacja podzielności

[max123321]

Niech \(\displaystyle{ r \subseteq (\left\{ 2^n \cdot 3^m:n:=0,1,2,m:=0,1,3\right\} \cup \left\{ 135\right\} )^2 }\) i niech \(\displaystyle{ r}\) będzie relacją podzielności \(\displaystyle{ xry}\) wtw \(\displaystyle{ x|y}\). Wskazać

a) elementy wyróżnione.

No to według mnie jedyny element minimalny to \(\displaystyle{ 1}\), elementy maksymalne to \(\displaystyle{ 108}\) i \(\displaystyle{ 135}\). Element najmniejszy to \(\displaystyle{ 1}\), a największego nie ma. Dobrze? A jakie tu są te kresy?

b) dwie pary elementów nieporównywalnych:

Według mnie to na przykład \(\displaystyle{ (2,3)}\) albo \(\displaystyle{ (4,27)}\).

c) \(\displaystyle{ \sup \left\{ 3,2\cdot 3,3^3\right\} }\)

Tego na razie nie wiem.

[Jan Kraszewski]

No to według mnie jedyny element minimalny to \(\displaystyle{ 1}\), elementy maksymalne to \(\displaystyle{ 108}\) i \(\displaystyle{ 135}\). Element najmniejszy to \(\displaystyle{ 1}\), a największego nie ma. Dobrze?

Dobrze.

A jakie tu są te kresy?

Kresy czego? Jeżeli chcesz badać kres górny bądź dolny, to musisz podać zbiór, którego kresy chcesz liczyć (tak jak w c) ).

b) dwie pary elementów nieporównywalnych:

Według mnie to na przykład \(\displaystyle{ (2,3)}\) albo \(\displaystyle{ (4,27)}\).

Dobrze

c) \(\displaystyle{ \sup \left\{ 3,2\cdot 3,3^3\right\} }\)

Tego na razie nie wiem.

Szukasz elementu, który jest większy od nich wszystkich i takiego, że każdy inny większy od nich wszystkich jest od niego większy.

JK

[max123321]

Czyli to znaczy, że szukam najmniejszej wspólnej wielokrotności elementów \(\displaystyle{ 3,2\cdot 3,3^3}\)? No to z tego by wynikało, że
\(\displaystyle{ \sup \left\{ 3,2\cdot 3,3^3\right\}=54}\), dobrze?

Dobra to tu jeszcze jest podpunkt

d) \(\displaystyle{ \inf \left\{ 2^2\cdot 3,2\cdot 3^2\right\}}\)

No to idąc tą samą logiką, to tu będzie największy wspólny dzielnik tych liczb czyli
\(\displaystyle{ \inf \left\{ 2^2\cdot 3,2\cdot 3^2\right\}=6}\)

Dobrze?

A jak sprawdzić czy ten zbiór uporządkowany jest kratą?

[Jan Kraszewski]

Czyli to znaczy, że szukam najmniejszej wspólnej wielokrotności elementów \(\displaystyle{ 3,2\cdot 3,3^3}\)?

Niekoniecznie. Gdybyś rozważał ten zbiór jako podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego \(\displaystyle{ \left\langle \NN,\mid\right\rangle }\), to tak - jak uważnie przeczytasz definicję najmniejszej wspólnej wielokrotności zbioru liczb, to jest to dokładnie supremum tego zbioru we wspomnianym zbiorze częściowo uporządkowanym.

Natomiast jeżeli rozważasz supremum podzbioru innego porządku, to ono musi do tego zbioru należeć. Gdybyś pytał o \(\displaystyle{ \sup \left\{ 3,2\cdot 3,3^3\right\}}\) w zbiorze \(\displaystyle{ \left( \left\{ 2^n \cdot 3^m:n:=0,1,2,m:=0,1,3\right\} \cup \left\{ 135\right\}\right) \red{ \setminus \{54\}},}\) to byłoby to \(\displaystyle{ 108}\).

Innymi słowy, jeśli najmniejsza wspólna wielokrotność zbioru liczb należy do Twojego zbioru dobrze uporządkowanego, to będzie jego supremum (taka sytuacja tutaj występuje). Ale jeśli nie należy, to supremum może być inne albo w ogóle może go nie być.

No to z tego by wynikało, że \(\displaystyle{ \sup \left\{ 3,2\cdot 3,3^3\right\}=54}\), dobrze?

Dobrze.

d) \(\displaystyle{ \inf \left\{ 2^2\cdot 3,2\cdot 3^2\right\}}\)

No to idąc tą samą logiką, to tu będzie największy wspólny dzielnik tych liczb czyli
\(\displaystyle{ \inf \left\{ 2^2\cdot 3,2\cdot 3^2\right\}=6}\)

Nie. To pytanie nie ma sensu, bo zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 2^2\cdot 3,2\cdot 3^2\right\}}\) nie jest podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 2^n \cdot 3^m:n:=0,1,2,m:=0,1,3\right\} \cup \left\{ 135\right\}.}\)

A jak sprawdzić czy ten zbiór uporządkowany jest kratą?

Możesz zacząć od diagramu Hassego - na nim zawsze dużo widać. W szczególności widać, że ten porządek nie jest kratą - łatwo wskazać dwa elementy, które nie mają supremum.

JK

[max123321]

Aha, chyba zaczynam kapować. Czyli to znaczy, że na przykład elementy \(\displaystyle{ 2 }\) i \(\displaystyle{ 3}\) nie są porównywalne, zatem zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 2,3\right\} }\) nie ma kresów czyli to nie może być krata. Dobrze?

[Jan Kraszewski]

Źle. Przecież widzisz, że \(\displaystyle{ \sup\{2,3\}=6, \inf\{2,3\}=1,}\) przed chwilą sam pisałeś o NWD i NWW... Nie o tę parę chodzi.

Warunkiem koniecznym (choć nie wystarczającym) istnienia kresu górnego zbioru jest istnienie ograniczenia górnego tego zbioru. Czy potrafisz wskazać zbiór dwuelementowy, którego nie da się ograniczyć z góry w tym porządku?

[max123321]

A, racja. Czy zatem chodzi o parę \(\displaystyle{ 108,135}\)?

[Jan Kraszewski]

Tak (ale może być inna).

JK