Ciąg podzielności

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, ze jeśli \(\displaystyle{ a|b^2|a^3|b^4|a^5 ...}\). to \(\displaystyle{ a=b}\).

[Janusz Tracz]

Liczby \(\displaystyle{ a,b}\) mają jednoznaczną reprezentację jako iloczyny liczb pierwszych, odpowiednio \(\displaystyle{ \prod_{}^{} p_i^{ \alpha _i}}\), \(\displaystyle{ \prod_{}^{} p_i^{ \beta _i}}\). O ile dobrze interpretuję treść zadania to wiemy, że dla każdego \(\displaystyle{ n\in \NN}\)

• \(\displaystyle{ \prod_{}^{} p_i^{ (2n+1) \alpha _i} \Big| \prod_{}^{} p_i^{ (2n+2)\beta _i}}\),

• \(\displaystyle{ \prod_{}^{} p_i^{ (2n) \beta _i} \Big| \prod_{}^{} p_i^{ (2n+1)\alpha _i}}\).

Zatem z charakteryzacji podzielności wynika, że nierówność \(\displaystyle{ 2n \beta \le (2n+1) \alpha \le (2n+2) \beta }\) zachodzi zawsze, przy czym tu \(\displaystyle{ \alpha , \beta }\) to jakieś wykładniki stojące przy tym samym \(\displaystyle{ p}\) w iloczynie (indeks \(\displaystyle{ i}\) pomijam). Z tej nierówności wynika, że \(\displaystyle{ \alpha = \beta }\). Jeśli \(\displaystyle{ \alpha =0 }\) lub \(\displaystyle{ \beta =0}\) to widać od razu, że zerami muszą być jednocześnie. Niech więc zerami nie będą. Wtedy nierówność równoważnie przekształcamy do

\(\displaystyle{ \frac{2n}{2n+1} \le \frac{ \alpha }{ \beta } \le \frac{2n+2}{2n+1}. }\)

Jako, że zachodzi to dla każdego \(\displaystyle{ n}\). To ułamek \(\displaystyle{ \alpha / \beta }\) jest dowolnie blisko jedynki. Czyli jest to jeden. Zatem \(\displaystyle{ \alpha = \beta }\).

[mol_ksiazkowy]

lub też \(\displaystyle{ a^{2k-1} \le b^{2k } \le a^{2k+1}}\) dla \(\displaystyle{ k=1, 2, 3... }\) itd.