Przypomnijmy, twierdzenie Bolzana mówi, że dla funkcji ciągłej \(\displaystyle{ f: \left[ a,b\right] \subset \RR \rightarrow \RR}\), gdzie \(\displaystyle{ a<b}\), takiej, że \(\displaystyle{ f\left( a\right)<0}\) i \(\displaystyle{ f\left( b\right)>0}\), to istnieje taka liczba rzeczywista \(\displaystyle{ c}\), że: \(\displaystyle{ a<c<b}\) i \(\displaystyle{ f\left( c\right) =0.}\)
PROSTY DOWÓD TEGO FAKTU:
Przedział domknięty \(\displaystyle{ \left[ a,b\right]}\), gdzie \(\displaystyle{ a<b}\) dzielimy na polowy wyróżniając liczbę środkową \(\displaystyle{ x_1= \left( a+b\right)/2.}\) Jeśli \(\displaystyle{ f\left( x_1\right)= 0}\), to ponieważ \(\displaystyle{ a<x_1<b}\), więc twierdzenie w takim przypadku jest udowodnione. Jeżeli natomiast \(\displaystyle{ f\left( x_1\right) \neq 0}\), to ta liczba jest bądź ujemna bądź dodatnia. W pierwszym przypadku prawa połowa tego przedziału ma taką własność, że wartość funkcji na jej lewym końcu jest ujemna a wartość funkcji na prawym jego końcu jest dodatnia. Łatwo jest zauważyć, że w drugim przypadku druga lewa połowa tego przedziału również ma tą własność. Wybierzmy jeden taki przedział o tej własności. Załóżmy, że mamy \(\displaystyle{ n}\)-ty przedział \(\displaystyle{ B_n= \left[ a_n, b_n\right],}\) gdzie \(\displaystyle{ f\left( a_n\right)<0}\) i \(\displaystyle{ f\left( b_n\right)>0}\). Rozważmy środek tego przedziału \(\displaystyle{ x_n=\left( a_n+b_n\right)/2}\). Jeśli \(\displaystyle{ f\left( x_n\right)=0}\), to dowód twierdzenia jest zakończony; pozostaje zatem zakładać, że zawsze \(\displaystyle{ f\left( x_n\right) \neq 0}\). Wtedy, powtarzając rekurencyjnie ten proces, otrzymamy ciąg przedziałów malejących \(\displaystyle{ B_1\supset B_2\supset B_3\supset \ldots}\) Ponieważ długości tych przedziałów dążą do \(\displaystyle{ \lim_{ n\to +\infty} \left( \frac{1}{2}\right) ^{n}=0}\), to istnieje punkt \(\displaystyle{ c}\) należący do części wspólnej tych wszystkich przedziałów. Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła, to w szczególności jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ c}\), a zatem istnieje granica \(\displaystyle{ \lim_{ x\to c} f\left( x\right)=:y}\). Skoro granica w punkcie \(\displaystyle{ c}\) jest równa \(\displaystyle{ y}\), więc również granica dolna i granica górna w punkcie \(\displaystyle{ c}\) jest równa \(\displaystyle{ y}\), tzn.: \(\displaystyle{ y _{-}:= \lim_{ x\to c_{-} } f(x)= y= \lim_{ x\to c _{+} } f(x)= :y _{+}.}\) Ale granica \(\displaystyle{ y_-}\), jako granica z wartości funkcji dla lewych końców tych przedziałów, czyli jako granica liczb ujemnych, jest liczbą ujemną bądź zerem, czyli \(\displaystyle{ y_- \le 0}\). W analogiczny sposób, granica \(\displaystyle{ y _{+}}\), jako granica z wartości funkcji dla prawych końców tych przedziałów, jest większa lub równa od zera. Ponieważ \(\displaystyle{ y _{-}= y=y_+}\), to \(\displaystyle{ y=0}\), a ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ c}\), to \(\displaystyle{ f(c)=\lim_{ x\to c} f\left( x\right)=y=0}\), gdzie \(\displaystyle{ a<c<b.\square}\)
Na koniec dodam takie spostrzeżenie, że najlepszym przykładem zbioru, który nie jest elementem samego siebie jest zbiór liczb naturalnych \(\displaystyle{ \NN}\). Nie jest on elementem samego siebie, czyli zbioru \(\displaystyle{ \NN}\), bo (to będzie taki pół-ścisły dowód) jego elementami są liczby naturalne \(\displaystyle{ 0,1,2,3,\ldots}\)- obiekty skończone, podczas gdy cały zbiór liczb naturalnych jest nieskończony; wobec czego zbiór liczb naturalnych nie jest liczbą naturalną.
