Trójkąt równoboczny wpisany w okrąg, udowodnij współliniowość

[Jeff111]

W trójkąt równoboczny \(\displaystyle{ ABC}\) wpisano okrąg o środku \(\displaystyle{ O}\). Styczna do tego okręgu przecina boki \(\displaystyle{ CA}\) i \(\displaystyle{ CB}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\). Na bokach tych obrano jeszcze takie punkty \(\displaystyle{ M_1}\) i \(\displaystyle{ N_1}\), że \(\displaystyle{ AM_1=CM}\) i \(\displaystyle{ BN_1=CN}\). Wykaż, że punkty \(\displaystyle{ M_1, O, N_1}\) leżą na jednej prostej.

[Gouranga]

Łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ MM_1NN_1}\) jest trapezem równoramiennym a skoro \(\displaystyle{ MN}\) jest jedną z przekątnych i przecina \(\displaystyle{ O}\) to \(\displaystyle{ M_1N_1}\) również bo trapez równoramienny jest symetryczny.

[a4karo]

Łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ MM_1NN_1}\) jest trapezem równoramiennym

To poproszę o ten łatwy dowód

[Gouranga]

W sumie to to będzie trapez równoramienny tylko jeśli M=N nie wiem czemu założyłem że musi tak być. Ale jakby wyrysować promienie do punktów styczności z MN, AC i BC to pewnie da się coś z podobieństwa trójkątów prostokątnych tam wykrzesać, nie mam teraz pod ręką kartki żeby to sprawdzić ale w tę stronę bym szedł

[anna_]

Czworokąt \(\displaystyle{ M_1N_1NM}\) nie będzie trapezem.

Dodano po 3 godzinach 2 minutach 40 sekundach:
Przepraszam, że w załącznikach, ale tak było mi wygodniej.