Płytki w kole

[mol_ksiazkowy]

Ile maksymalnie rozłącznych płytek \(\displaystyle{ 1 \times 1}\) można zmieścić w kole o średnicy \(\displaystyle{ 2n}\)

[kerajs]

Jeśli układać warstwami to zmieści się 22 kwadratów (3+5+6+5+3).

[Hir]

Powiązane:

Kod: Zaznacz cały

https://erich-friedman.github.io/packing/squincir/

[Gouranga]

Tutaj masz dokładnie omówione jak znaleźć ile punktów o całkowitych współrzędnych jest w kole o zadanym promieniu, czyli zasadniczo to czego szukasz, przy czym w grę wchodzi m. in. rozkładanie liczb zespolonych na czynniki, ale rozwiązanie eleganckie

Ukryta treść:    

https://youtu.be/NaL_Cb42WyY?si=HCoTINrX6qsYv_C2

Dodano po 16 godzinach 18 minutach 33 sekundach:
A tak w skrócie jeśli nie chce ci się oglądać całego wykładu to dla koła o środku w początku układu współrzędnych i o promieniu \(\displaystyle{ n}\) sprawdzasz po kolei okręgi o promieniach \(\displaystyle{ 1,\sqrt{2}, \sqrt{3}, \ldots \sqrt{n^2}}\) i sprawdzasz przez ile punktów o całkowitych współrzędnych i nie będę się tu rozpisywał dlaczego tak jest, ale dla okręgu o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{k}}\) rozkładasz \(\displaystyle{ k}\) na czynniki pierwsze i:
-jeśli jest jakikolwiek czynnik pierwszy o 1 mniejszy od wielokrotności 4 (np. 3, 11) to musi być w parzystej potędze, każdy taki w nieparzystej automatycznie powoduje, że na tym okręgu nie ma punktów o całkowitych współrzędnych
-czynnik 2 w dowolnej potędze niczego nie zmienia
-każdy czynnik postaci o 1 większy niż wielokrotność 4 daje liczbę punktów o 1 większą niż jego potęga
-uzyskane tak punkty mnożysz przez 4
przykładowo okrąg o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{25}}\) przecina 12 takich punktów, bo \(\displaystyle{ 25 = 5^2}\) więc mamy czynnik o 1 większy od wielokrotności 4 w potędze 2, więc on daje 3 punkty, mnożymy przez 4, okrąg o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{450}}\) da dokładnie tyle samo, bo \(\displaystyle{ 450 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2}\), dwójka nic nie zmienia, 3 jest w parzystej potędze, ale już okrąg o promieniu 150 nie przetnie żadnych punktów bo 3 będzie w nieparzystej
i tą metodą po kolei sumując punkty z kolejnych okręgów dostaniesz dokładny wynik

[Hir]

Tutaj masz dokładnie omówione jak znaleźć ile punktów o całkowitych współrzędnych jest w kole o zadanym promieniu, czyli zasadniczo to czego szukasz

Zasadniczo to nie jest prawda, bo w naszym zadaniu kwadraty zdaje się można obracać - a w cytowanym przez Ciebie filmiku są ustawione tak, jak punkty kratowe w układzie współrzędnych.

17.gif (1.6 KiB) Przejrzano 125 razy

[mol_ksiazkowy]

obrazki mozna wstawiać klikając "Załączniki" (pod okienkiem edycji).

[Gouranga]

w naszym zadaniu kwadraty zdaje się można obracać - a w cytowanym przez Ciebie filmiku są ustawione tak, jak punkty kratowe

zadanie dla chętnych: udowodnij, że pokazane przeze mnie rozwiązanie nie jest optymalne i można upchnąć więcej kwadratów