Indeksy w ciągu
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Indeksy w ciągu
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ 0 \le a_{m+n} \leq a_n +a_m }\) dla dowolnych \(\displaystyle{ m,n =1, 2,3,...}\) to ciąg \(\displaystyle{ \frac{a_n}{n} }\) jest zbieżny.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4076
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Indeksy w ciągu
Niech \(\displaystyle{ L=\inf_n ( a_n/n)}\). Ustalmy \(\displaystyle{ \epsilon>0}\).
(ii) \(\displaystyle{ \frac{\max_{0 \le i\le k -1}\{a_i\} }{n} \le \epsilon }\).
Zauważmy, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n>N}\) mamy wtedy
- Niech \(\displaystyle{ k}\) będzie takie, że \(\displaystyle{ a_k/k<L+\epsilon}\) (z definicji \(\displaystyle{ \inf}\)).
- Niech \(\displaystyle{ N}\) będzie tak duże, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n>N}\) zachodzą nierówności
(ii) \(\displaystyle{ \frac{\max_{0 \le i\le k -1}\{a_i\} }{n} \le \epsilon }\).
Zauważmy, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n>N}\) mamy wtedy
\(\displaystyle{ a_n=a_{q_n N+p_n}\le q_n a_N+a_p \le q_n a_N+ \max_{0 \le i\le N -1}\{a_i\} }\)
Oznacza to, że
\(\displaystyle{ L \le \frac{a_n}{n} \le \frac{q_n N}{ n } \cdot \frac{a_N}{N} + \frac{\max_{0 \le i\le N -1}\{a_i\} }{n} \le \left( 1+\epsilon \right)(L+\epsilon)+\epsilon = L+(L+2)\epsilon+\epsilon^2. }\)
A ponieważ \(\displaystyle{ L}\) jest liczbą skończoną to \(\displaystyle{ a_n/n}\) jest dowolnie blisko \(\displaystyle{ L}\). Można jednak odpuścić założenie, że \(\displaystyle{ a_n>0}\) i rozważać sytuację z ujemnymi wyrazami. Wynik w pełnej ogólności ( dla ciągów, z możliwością granicy \(\displaystyle{ -\infty}\)) nazywa się lematem Fekete. I jest szczególną wersją podaddytywnego twierdzenia ergodycznego Kingmana.