Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą naturalną większą lub równą \(\displaystyle{ 2}\).
Wykażemy, że: \(\displaystyle{ \sqrt[n]{2}}\) jest liczbą niewymierną.
Nim to udowodnimy, przypomnijmy prosty fakt, mówiący, że jeśli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą, i \(\displaystyle{ p}\) dzieli iloczyn \(\displaystyle{ x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n}\) liczb naturalnych, to \(\displaystyle{ p}\) dzieli jeden z czynników tego iloczynu.
Dla \(\displaystyle{ n=2}\)- to jest to znany prosty fakt, dla \(\displaystyle{ n=1}\)- to jest to oczywiste, a dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\)- to można to łatwo udowodnić indukcyjnie (korzystając z łączności mnożenia liczb naturalnych). Ten fakt przyda nam się. Przejdźmy do dowodu naszego faktu:
DOWÓD TEGO FAKTU:
Przypuśćmy nie wprost, że: \(\displaystyle{ \sqrt[n]{2}= \frac{a}{b}}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b}\) są liczbami całkowitymi i \(\displaystyle{ b \neq 0}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \sqrt[n]{2}>0}\), to możemy założyć, że \(\displaystyle{ a,b>0}\), bo gdy \(\displaystyle{ a,b<0}\), to \(\displaystyle{ \left( -a\right) ,\left( -b\right) >0}\) (i \(\displaystyle{ \left( -a\right) \left( -b\right) \in \ZZ}\)), i wtedy: \(\displaystyle{ \frac{-a}{-b}= \frac{a}{b}= \sqrt[n]{2}}\)). Załóżmy więc dalej, że \(\displaystyle{ a,b>0}\). Wtedy \(\displaystyle{ a,b \in \NN_+}\). Ponadto skracając taki ułamek \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) przez największy wspólny dzielnik liczb \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) otrzymamy liczby względnie pierwsze, więc możemy teraz też założyć, że liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są względnie pierwsze, tzn. ich jedynym wspólnym dzielnikiem jest \(\displaystyle{ 1}\). Wtedy: \(\displaystyle{ 2= \underbrace{\sqrt[n]{2} \cdot \sqrt[n]{2} \cdot \ldots \cdot \sqrt[n]{2}}_{n \hbox{ razy}} = \left( \frac{a}{b}\right) ^{n}}\), skąd \(\displaystyle{ 2 b^{n}= a ^{n}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ 2}\) dzieli lewą stronę tej równości, więc \(\displaystyle{ 2}\) dzieli również prawą stronę, skąd \(\displaystyle{ 2| a ^{n}= \underbrace{a \cdot a\ldots \cdot a}_{n \hbox{ razy}}}\) , i ponieważ \(\displaystyle{ 2}\) jest liczbą pierwszą, więc na mocy przytoczonego faktu: \(\displaystyle{ 2}\) dzieli \(\displaystyle{ a}\). Wtedy \(\displaystyle{ 2 ^{n}}\) dzieli \(\displaystyle{ a ^{n}= 2b ^{n}}\), skąd \(\displaystyle{ 2 ^{n-1}| b ^{n} =\underbrace { b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{ n \hbox{ razy}}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ n \ge 2}\), to \(\displaystyle{ n-1 \ge 1}\), więc tym bardziej \(\displaystyle{ 2| b ^{n}= b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}\), i ponieważ \(\displaystyle{ 2}\) jest liczbą pierwszą, więc na mocy przytoczonego faktu \(\displaystyle{ 2}\) dzieli \(\displaystyle{ b}\). Ponadto mamy, że \(\displaystyle{ 2}\) dzieli \(\displaystyle{ a}\), a liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są względnie pierwsze- sprzeczność. Wobec czego pierwiastek \(\displaystyle{ \sqrt[n]{2}}\) jest liczbą niewymierną\(\displaystyle{ .\square}\)
Możemy ten fakt uogólnić, dowodząc, że jeśli \(\displaystyle{ p}\) jest dowolną liczbą pierwszą, a \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną równą co najmniej dwa, to \(\displaystyle{ \sqrt[n]{p}}\) jest liczbą niewymierną- możemy ten fakt, w analogiczny sposób, udowodnić.
Gdy byłem na studiach to udowodniłem chyba również (bo teraz ten dowód mi coś nie wychodzi), że jeśli \(\displaystyle{ m}\) jest liczbą naturalną leżącą pomiędzy kwadratami sąsiednich liczb naturalnych, to pierwiastek kwadratowy \(\displaystyle{ \sqrt{m}}\) jest liczbą niewymierną, o ile dobrze pamiętam...
Dodano po 1 godzinie 9 minutach 22 sekundach:
Już chyba wiem: gdyby ten pierwiastek byłby w postaci ułamka \(\displaystyle{ \frac{a}{b},}\) gdzie \(\displaystyle{ a,b \in \NN _{+}, }\) to ponieważ funkcja \(\displaystyle{ y= x ^{2}, }\) dla argumentów dodatnich, jest silnie rosnąca, i ponieważ funkcja \(\displaystyle{ y= \sqrt{x} }\) jest silnie rosnąca, to z założenia otrzymalibyśmy, że jest to ułamek właściwy, tj. nie jest on liczbą naturalną (no bo gdyby byłoby \(\displaystyle{ \frac{a}{b}=x, }\) gdzie \(\displaystyle{ x\in\NN}\), to \(\displaystyle{ x^{2}= \left( \sqrt{m} \right) ^{2}= m}\), gdzie \(\displaystyle{ n ^{2}<m<\left( n+1\right) ^{2}.}\) Wtedy: \(\displaystyle{ n< \sqrt{m}=x < n+1, }\) i \(\displaystyle{ x \in \NN}\) -sprzeczność). A zatem \(\displaystyle{ \frac{a}{b}\not \in \NN.}\) A wtedy kwadrat tego ułamka też jest ułamkiem właściwym, a ten kwadrat jest równy \(\displaystyle{ m \in \NN-}\) sprzeczność.\(\displaystyle{ \square}\)
Każdy dowodzi to nie wprost, nikt nie chce wprost...